Determinar as coordenadas do vetor do em relação à base canônica e em relação à base .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A missão aqui é encontrar as coordenadas do vetor no espaço de duas maneiras: primeiro, em relação à base canônica (que é a base padrão que usamos no dia a dia), e depois em relação a uma base específica . Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre bases e como expressar vetores em diferentes bases.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que é a base canônica. No , a base canônica é formada pelos vetores , e . Quando expressamos um vetor em relação à base canônica, seus coeficientes são exatamente suas componentes. Então, para o vetor , as coordenadas na base canônica são simplesmente .
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte: encontrar as coordenadas de em relação à base . Isso significa que queremos escrever como uma combinação linear desses três vetores. Ou seja, precisamos achar números , e tais que:
Passo 4
Vamos montar esse sistema de equações. Ao expandir a combinação linear, temos:
Isso nos dá o seguinte sistema:
Passo 5
Começamos pela segunda equação, que já nos dá 1 + c2 + c3 = 2 implies c2 + c3 = 1 (i) . Vamos substituir esse valor nas outras equações:
Primeira equação:
1 + c2 - c3 = 4 implies c2 - c3 = 3 (ii)
Terceira equação:
Passo 6
Agora, temos um sistema com duas incógnitas:
c2 + c3 = 1 (i) c2 - c3 = 3 (ii)
Vamos somar as duas equações para eliminar (c2 + c3) + (c2 - c3) = 1 + 3 2c2 = 4 implies c2 = 2 :
2 + c3 = 1 implies c3 = -1
Agora, substituímos na equação :
Passo 7
Então, encontramos os coeficientes:
c1 = 1, c2 = 2, c3 = -1
Isso significa que as coordenadas de em relação à base são .