Dados os vetores a=i+2 j-k, b=2 i+3 k e c=3 i-j+2 k, determinar: (a times b) times c e(a times b) c

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que ele está pedindo. Temos três vetores:
a = i + 2,j - k
b = 2,i + 3,k
c = 3,i - j + 2,k
O que precisamos encontrar são dois produtos envolvendo esses vetores:
  1. O produto vetorial de (a times b) com c, ou seja, (a times b) times c.
  2. O produto escalar de (a times b) com c, ou seja, (a times b) cdot c.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular produtos vetoriais e escalares entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial de a e b, que é (a times b). O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais.
A fórmula para o produto vetorial é:
a times b = i & j & k ax & ay & az bx & by & bz
Vamos aplicar isso aos nossos vetores a e b.

Passo 3

Vamos montar a matriz para calcular o produto vetorial a times b:
a times b = i & j & k 1 & 2 & -1 2 & 0 & 3
Agora, calculamos o determinante:
a times b = i(2 cdot 3 - (-1) cdot 0) - j(1 cdot 3 - (-1) cdot 2) + k(1 cdot 0 - 2 cdot 2)
Simplificando cada parte:
  • Para i:
2 cdot 3 - (-1) cdot 0 = 6 - 0 = 6
  • Para j:
1 cdot 3 - (-1) cdot 2 = 3 + 2 = 5
  • Para k:
1 cdot 0 - 2 cdot 2 = 0 - 4 = -4
Então:
a times b = 6,i - 5,j - 4,k

Passo 4

Agora que temos a times b, vamos calcular o produto vetorial (a times b) times c.
Utilizamos novamente a fórmula do produto vetorial:
(a times b) times c = i & j & k 6 & -5 & -4 3 & -1 & 2
Calculando o determinante:
(a times b) times c = i((-5) cdot 2 - (-4) cdot (-1)) - j(6 cdot 2 - (-4) cdot 3) + k(6 cdot (-1) - (-5) cdot 3)
Simplificando cada parte:
  • Para i:
(-5) cdot 2 - (-4) cdot (-1) = -10 - 4 = -14
  • Para j:
6 cdot 2 - (-4) cdot 3 = 12 + 12 = 24
  • Para k:
6 cdot (-1) - (-5) cdot 3 = -6 + 15 = 9
Então:
(a times b) times c = -14,i - 24,j + 9,k

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar (a times b) cdot c.
O produto escalar entre dois vetores resulta em um número (escalar) e é calculado multiplicando os componentes correspondentes e somando os resultados:
u cdot v = ux vx + uy vy + uz vz
Aplicando isso a (a times b) e c:
(a times b) cdot c = (6)(3) + (-5)(-1) + (-4)(2)
Calculando cada termo:
  • 6 cdot 3 = 18
  • (-5) cdot (-1) = 5
  • (-4) cdot 2 = -8
Somando:
18 + 5 - 8 = 15

Resposta

Então, os resultados são:
(a times b) times c = -14,i - 24,j + 9,k
e
(a times b) cdot c = 15

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