Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que ele está pedindo. Temos três vetores:
O que precisamos encontrar são dois produtos envolvendo esses vetores:
O produto vetorial de com , ou seja, .
O produto escalar de com , ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular produtos vetoriais e escalares entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial de e , que é . O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais.
A fórmula para o produto vetorial é:
Vamos aplicar isso aos nossos vetores a e b.
Passo 3
Vamos montar a matriz para calcular o produto vetorial a times b:
a times b = i & j & k 1 & 2 & -1 2 & 0 & 3
Agora, calculamos o determinante:
a times b = i(2 cdot 3 - (-1) cdot 0) - j(1 cdot 3 - (-1) cdot 2) + k(1 cdot 0 - 2 cdot 2)
Simplificando cada parte:
Para i:
2 cdot 3 - (-1) cdot 0 = 6 - 0 = 6
Para j:
1 cdot 3 - (-1) cdot 2 = 3 + 2 = 5
Para k:
1 cdot 0 - 2 cdot 2 = 0 - 4 = -4
Então:
a times b = 6,i - 5,j - 4,k
Passo 4
Agora que temos a times b, vamos calcular o produto vetorial(a times b) times c.
Utilizamos novamente a fórmula do produto vetorial:
(a times b) times c = i & j & k 6 & -5 & -4 3 & -1 & 2
Calculando o determinante:
(a times b) times c = i((-5) cdot 2 - (-4) cdot (-1)) - j(6 cdot 2 - (-4) cdot 3) + k(6 cdot (-1) - (-5) cdot 3)
Simplificando cada parte:
Para i:
(-5) cdot 2 - (-4) cdot (-1) = -10 - 4 = -14
Para j:
6 cdot 2 - (-4) cdot 3 = 12 + 12 = 24
Para k:
6 cdot (-1) - (-5) cdot 3 = -6 + 15 = 9
Então:
(a times b) times c = -14,i - 24,j + 9,k
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar(a times b) cdot c.
O produto escalar entre dois vetores resulta em um número (escalar) e é calculado multiplicando os componentes correspondentes e somando os resultados: