Dados os vetores u=i-2 j e v=-2 i+3 j, achar a medida do ângulo entre os vetores u e v;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a medida do ângulo entre dois vetores: u = i - 2 j e v = -2 i + 3 j. Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto escalar e magnitude de vetores, que fazem parte da matéria de Álgebra Vetorial. Precisamos calcular o produto escalar dos vetores e as suas magnitudes para encontrar o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores u = (ux, uy) e v = (vx, vy) é dado por:
u cdot v = ux vx + uy vy
Vamos calcular isso para os nossos vetores.

Passo 3

Identificando os componentes dos vetores:
u = (1, -2) e v = (-2, 3)
Aplicando na fórmula do produto escalar:
u cdot v = (1)(-2) + (-2)(3) = -2 - 6 = -8

Passo 4

Agora, precisamos calcular a magnitude (ou módulo) de cada vetor. A magnitude de um vetor w = (wx, wy) é dada por:
|w| = raizwx^2 + wy^2
Vamos calcular para u e v.

Passo 5

Calculando a magnitude de u:
|u| = raiz1^2 + (-2)^2 = raiz1 + 4 = raiz5
E para v:
|v| = raiz(-2)^2 + 3^2 = raiz4 + 9 = raiz13

Passo 6

Com o produto escalar e as magnitudes, podemos usar a fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo entre os vetores:
u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta)
Queremos encontrar theta, então rearranjamos a fórmula:
cos(theta) = u cdot v|u| cdot |v|

Passo 7

Substituindo os valores que calculamos:
cos(theta) = -8raiz5 cdot raiz13 = -8raiz65
Para encontrar theta, tiramos o arco cosseno (cos⁻¹) desse valor:
theta = cos^-1(-8raiz65)

Resposta

O ângulo entre os vetores u e v é aproximadamente 130,53 graus.

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