Calcular o módulo, o produto escalar e o produto vetorial dos vetores, u=3 i+4 j e v=i-2 j+5 k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o módulo, o produto escalar e o produto vetorial dos vetores u=3 i+4 j e v=i-2 j+5 k. A matéria que estamos lidando aqui é álgebra vetorial, e para resolver isso, vamos precisar lembrar de como calcular cada uma dessas operações: módulo (ou norma) dos vetores, produto escalar e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o módulo de cada vetor. O módulo de um vetor é como o comprimento dele e é calculado usando a fórmula:
|a| = raizax^2 + ay^2 + az^2
Para a gente começar, vamos calcular o módulo de u.

Passo 3

Calculando o módulo de u=3 i+4 j:
Note que u tem apenas as componentes nas direções i e j, ou seja, ux = 3, uy = 4 e não há componente em k, então uz = 0.
Aplicando a fórmula:
|u| = raiz3^2 + 4^2 + 0^2 = raiz9 + 16 + 0 = raiz25 = 5

Passo 4

Agora vamos calcular o módulo de v=i-2 j+5 k. As componentes são vx = 1, vy = -2 e vz = 5.
Aplicando a fórmula:
|v| = raiz1^2 + (-2)^2 + 5^2 = raiz1 + 4 + 25 = raiz30 approx 5,48

Passo 5

Próxima etapa é calcular o produto escalar entre u e v. O produto escalar entre dois vetores é dado por:
u cdot v = ux vx + uy vy + uz vz
Vamos aplicar isso com nossos vetores.

Passo 6

Calculando o produto escalar:
u cdot v = (3)(1) + (4)(-2) + (0)(5) = 3 - 8 + 0 = -5

Passo 7

Agora, vamos para o produto vetorial entre u e v. O produto vetorial resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais e é calculado pela regra do determinante:
u times v = i & j & k 3 & 4 & 0 1 & -2 & 5
Vamos resolver esse determinante passo a passo.

Passo 8

Calculando o determinante:
u times v = i(4 cdot 5 - 0 cdot (-2)) - j(3 cdot 5 - 0 cdot 1) + k(3 cdot (-2) - 4 cdot 1)
Simplificando cada parte:
i(20 - 0) - j(15 - 0) + k(-6 - 4) = 20i - 15j - 10k

Resposta

O módulo dos vetores é |u| = 5 e |v| approx 5,48. O produto escalar entre u e v é -5. Já o produto vetorial é u times v = 20i - 15j - 10k.

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