Dados os vetores u=(3,-1,2) e v=(-2,2,1), calcular:
a altura do paralelogramo relativa a base definida pelo vetor nabla.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, e . A questão pede para calcular a altura do paralelogramo relativo à base definida por um dos vetores. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como produto vetorial e magnitude dos vetores, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o paralelogramo formado por e tem uma área que pode ser calculada pelo módulo do produto vetorial desses vetores: .

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial u times v = i & j & k 3 & -1 & 2 -2 & 2 & 1 . Usando a definição do produto vetorial:
u times v = i((-1)(1) - (2)(2)) - j((3)(1) - (2)(-2)) + k((3)(2) - (-1)(-2))
Calculando o determinante:
= i(-1 - 4) - j(3 + 4) + k(6 - 2)
= -5i - 7j + 4k
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo desse vetor produto vetorial para achar a área do paralelogramo:
|u times v| = raiz(-5)^2 + (-7)^2 + 4^2 = raiz25 + 49 + 16 = raiz90 approx 9,49

Passo 5

Sabemos que a área do paralelogramo também pode ser expressa como:
Área = base times aÁ
Queremos encontrar a altura, então rearranjamos a fórmula:
aÁ
Vamos escolher a base como o vetor |u| = raiz3^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz9 + 1 + 4 = raiz14 approx 3,74 . Primeiro, calculamos a magnitude de :

Resposta

Assim, a altura do paralelogramo relativa à base definida por a é:

Exercícios relacionados