Dados os vetores que variam com o tempo . Encontre
e

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve vetores que variam com o tempo. Os vetores dados são:
O objetivo é encontrar as derivadas em relação ao tempo de dois produtos: o produto escalar ( ) e o produto vetorial ( ). Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as regras de derivação para produtos escalar e vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada do produto escalar . O produto escalar entre dois vetores é dado por:
Onde , , são as componentes de e , , são as componentes de .

Passo 3

Identificando as componentes dos vetores e :
Portanto:

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula do produto escalar:

Passo 5

Para encontrar a derivada em relação a , usamos a regra de derivação para somas e para produtos de funções:

Passo 6

Somando as derivadas encontradas:

Passo 7

Simplificando a expressão:

Passo 8

Agora, vamos calcular a derivada do produto vetorial . A derivada de um produto vetorial é dada por:

Passo 9

Primeiro, encontramos as derivadas das componentes dos vetores:
Para :
Para :

Passo 10

Agora, calculamos os produtos vetoriais:

Passo 11

Calculando :

Passo 12

Somando todas as partes:

Passo 13

Agora, calculamos :

Passo 14

Somando todas as partes:

Passo 15

Agora, somamos as duas contribuições para obter a derivada do produto vetorial:

Passo 16

Agrupando os termos semelhantes:
Para :
Para :
Para :

Resposta

As derivadas são:

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