Dados os vetores que variam com o tempo . Encontre e d(A times B) / d t
Passo 1
Vamos resolver o exercício que envolve vetores que variam com o tempo. Os vetores dados são:
A = r cos(omega t) + jmath sin(omega t)
B = t,r + t^2jmath + t^3k
O objetivo é encontrar as derivadas em relação ao tempo de dois produtos: o produto escalar () e o produto vetorial (). Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as regras de derivação para produtos escalar e vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada do produto escalar A cdot B = Ax Bx + Ay By + Az Bz . O produto escalar entre dois vetores é dado por:
Onde , , são as componentes de e , , são as componentes de .
Passo 3
Identificando as componentes dos vetores A = cos(omega t), r + sin(omega t), jmath e B = t, r + t^2, jmath + t^3, k :
Ax = cos(omega t), Ay = sin(omega t), Az = 0
Bx = t, By = t^2, Bz = t^3
Portanto:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula do produto escalar:
A cdot B = Ax Bx + Ay By + Az Bz = cos(omega t) cdot t + sin(omega t) cdot t^2 + 0 cdot t^3
A cdot B = t cos(omega t) + t^2 sin(omega t)
Passo 5
Para encontrar a derivada em relação a ddt [t cos(omega t)] = cos(omega t) + t cdot (-omega sin(omega t)) , usamos a regra de derivação para somas e para produtos de funções: