Dados os vetores que variam com o tempo . Encontre e
Passo 1
Vamos resolver o exercício que envolve vetores que variam com o tempo. Os vetores dados são:
O objetivo é encontrar as derivadas em relação ao tempo de dois produtos: o produto escalar () e o produto vetorial (). Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as regras de derivação para produtos escalar e vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada do produto escalar . O produto escalar entre dois vetores é dado por:
Onde , , são as componentes de e , , são as componentes de .
Passo 3
Identificando as componentes dos vetores e :
Portanto:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula do produto escalar:
Passo 5
Para encontrar a derivada em relação a , usamos a regra de derivação para somas e para produtos de funções:
Passo 6
Somando as derivadas encontradas:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Passo 8
Agora, vamos calcular a derivada do produto vetorial . A derivada de um produto vetorial é dada por:
Passo 9
Primeiro, encontramos as derivadas das componentes dos vetores:
Para :
Para :
Passo 10
Agora, calculamos os produtos vetoriais:
Passo 11
Calculando :
Passo 12
Somando todas as partes:
Passo 13
Agora, calculamos :
Passo 14
Somando todas as partes:
Passo 15
Agora, somamos as duas contribuições para obter a derivada do produto vetorial: