Dados os vetores que variam com o tempo A=r cos omega t+jmath sen omega t e B=t r+t^2 jmath+t^3 k. Encontre
d(A cdot B) / d t e d(A times B) / d t

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve vetores que variam com o tempo. Os vetores dados são:
A = r cos(omega t) + jmath sin(omega t)
B = t,r + t^2jmath + t^3k
O objetivo é encontrar as derivadas em relação ao tempo de dois produtos: o produto escalar ( ) e o produto vetorial ( ). Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as regras de derivação para produtos escalar e vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada do produto escalar A cdot B = Ax Bx + Ay By + Az Bz . O produto escalar entre dois vetores é dado por:
Onde , , são as componentes de e , , são as componentes de .

Passo 3

Identificando as componentes dos vetores A = cos(omega t), r + sin(omega t), jmath e B = t, r + t^2, jmath + t^3, k :
Ax = cos(omega t), Ay = sin(omega t), Az = 0
Bx = t, By = t^2, Bz = t^3
Portanto:

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula do produto escalar:
A cdot B = Ax Bx + Ay By + Az Bz = cos(omega t) cdot t + sin(omega t) cdot t^2 + 0 cdot t^3
A cdot B = t cos(omega t) + t^2 sin(omega t)

Passo 5

Para encontrar a derivada em relação a ddt [t cos(omega t)] = cos(omega t) + t cdot (-omega sin(omega t)) , usamos a regra de derivação para somas e para produtos de funções:
ddt [t^2 sin(omega t)] = 2t sin(omega t) + t^2 cdot omega cos(omega t)

Passo 6

Somando as derivadas encontradas:
ddt (A cdot B) = cos(omega t) - omega t sin(omega t) + 2t sin(omega t) + omega t^2 cos(omega t)

Passo 7

Simplificando a expressão:
ddt (A cdot B) = cos(omega t) + (2t - omega t) sin(omega t) + omega t^2 cos(omega t)

Passo 8

Agora, vamos calcular a derivada do produto vetorial ddt (A times B) = dAdt times B + A times dBdt . A derivada de um produto vetorial é dada por:

Passo 9

Primeiro, encontramos as derivadas das componentes dos vetores:
Para dAdt = -omega sin(omega t), r + omega cos(omega t), jmath :
dBdt = ddt (t, r + t^2, jmath + t^3, k) = r + 2t, jmath + 3t^2, k
Para :

Passo 10

Agora, calculamos os produtos vetoriais:
dAdt times B = (-omega sin(omega t), r + omega cos(omega t), jmath) times (t, r + t^2, jmath + t^3, k)
A times dBdt = (cos(omega t), r + sin(omega t), jmath) times (r + 2t, jmath + 3t^2, k)

Passo 11

Calculando (-omega sin(omega t), r) times (t, r) = 0 :
(-omega sin(omega t), r) times (t^2, jmath) = -omega t^2 sin(omega t), (r times jmath) = -omega t^2 sin(omega t), k
(-omega sin(omega t), r) times (t^3, k) = -omega t^3 sin(omega t), (r times k) = omega t^3 sin(omega t), jmath
(omega cos(omega t), jmath) times (t, r) = omega t cos(omega t), (jmath times r) = -omega t cos(omega t), k
(omega cos(omega t), jmath) times (t^2, jmath) = 0
(omega cos(omega t), jmath) times (t^3, k) = omega t^3 cos(omega t), (jmath times k) = omega t^3 cos(omega t), r

Passo 12

Somando todas as partes:
dAdt times B = -omega t^2 sin(omega t), k + omega t^3 sin(omega t), jmath - omega t cos(omega t), k + omega t^3 cos(omega t), r

Passo 13

Agora, calculamos cos(omega t), r times r = 0 :
cos(omega t), r times 2t, jmath = 2t cos(omega t), (r times jmath) = 2t cos(omega t), k
cos(omega t), r times 3t^2, k = 3t^2 cos(omega t), (r times k) = -3t^2 cos(omega t), jmath
sin(omega t), jmath times r = sin(omega t), (jmath times r) = sin(omega t), (-k) = -sin(omega t), k
sin(omega t), jmath times 2t, jmath = 0
sin(omega t), jmath times 3t^2, k = 3t^2 sin(omega t), (jmath times k) = 3t^2 sin(omega t), r

Passo 14

Somando todas as partes:
A times dBdt = 2t cos(omega t), k - 3t^2 cos(omega t), jmath - sin(omega t), k + 3t^2 sin(omega t), r

Passo 15

Agora, somamos as duas contribuições para obter a derivada do produto vetorial:
ddt (A times B) = ( -omega t^2 sin(omega t), k + omega t^3 sin(omega t), jmath - omega t cos(omega t), k + omega t^3 cos(omega t), r ) + ( 2t cos(omega t), k - 3t^2 cos(omega t), jmath - sin(omega t), k + 3t^2 sin(omega t), r )

Passo 16

Agrupando os termos semelhantes:
Para omega t^3 cos(omega t), r + 3t^2 sin(omega t), r :
omega t^3 sin(omega t), jmath - 3t^2 cos(omega t), jmath
Para -omega t^2 sin(omega t), k - omega t cos(omega t), k + 2t cos(omega t), k - sin(omega t), k :
Para :

Resposta

As derivadas são:
ddt (A cdot B) = cos(omega t) + (2t - omega t) sin(omega t) + omega t^2 cos(omega t)
ddt (A times B) = ( omega t^3 cos(omega t) + 3t^2 sin(omega t) ), r + ( omega t^3 sin(omega t) - 3t^2 cos(omega t) ), jmath + ( -omega t^2 sin(omega t) - omega t cos(omega t) + 2t cos(omega t) - sin(omega t) ), k

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