Decida se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-exemplo.
© Se
são funções tais que
, então
. Resp.: Falsa.
© Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa. A afirmação diz que se duas funções reais,
e
, satisfazem
, então
. Vamos precisar usar conceitos de limites e analisar como o comportamento das funções
e
se relaciona quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso indica que, para valores muito grandes de
, a função
cresce muito mais rápido que
. Em outras palavras,
domina
quando
vai para o infinito.
Passo 3
Agora, a afirmação sugere que se
cresce muito mais rápido que
, então a diferença
também tende a
. Vamos verificar se isso é sempre verdade ou se pode haver exceções.
Passo 4
Para ver se a afirmação é falsa, precisamos encontrar um contra-exemplo, ou seja, duas funções
e
que satisfazem
, mas
não é
.
Passo 5
Vamos considerar as funções:
Claro que:
Então,
realmente cresce muito mais rápido que
.
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
E o limite:
Hmm, nesse caso o limite também tende a
. Então esse não é o contra-exemplo que precisamos.
Passo 7
Vamos tentar com funções diferentes. Considere:
Calculando o limite da razão:
Aqui, o limite não é
, então precisamos ajustar.
Passo 8
Vamos ajustar as funções para que o limite da razão seja
. Considere:
Calculando o limite da razão:
Agora,
cresce muito mais rápido que
.
Passo 9
Vamos calcular
:
E o limite:
Ainda assim, o limite tende a
. Precisamos de um exemplo onde
não tende a
.
Passo 10
Finalmente, consideremos:
Calculando a razão:
Ainda não funciona. Vamos ajustar novamente.
Passo 11
Vamos simplificar e usar funções lineares. Considere:
Calculando a razão:
Ainda não é
. Parece que encontrar um contra-exemplo direto é complicado, então vamos reavaliar a afirmação.
Passo 12
Na verdade, a afirmação original está correta: se
, então
. Portanto, a resposta anterior “Falsa” está errada.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se
, então
.