Decida se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-exemplo.
© Se f, g: R R são funções tais que lim x +infty f(x)g(x)=+infty, então lim x +infty(f(x)-g(x))=+infty. Resp.: Falsa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa. A afirmação diz que se duas funções reais, e , satisfazem , então . Vamos precisar usar conceitos de limites e analisar como o comportamento das funções e se relaciona quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso indica que, para valores muito grandes de , a função cresce muito mais rápido que . Em outras palavras, domina quando vai para o infinito.

Passo 3

Agora, a afirmação sugere que se cresce muito mais rápido que , então a diferença também tende a . Vamos verificar se isso é sempre verdade ou se pode haver exceções.

Passo 4

Para ver se a afirmação é falsa, precisamos encontrar um contra-exemplo, ou seja, duas funções e que satisfazem , mas não é .

Passo 5

Vamos considerar as funções:
f(x) = x^2
g(x) = x
Claro que:
lim x +infty f(x)g(x) = lim x +infty x^2x = lim x +infty x = +infty
Então, realmente cresce muito mais rápido que .

Passo 6

Agora, vamos calcular f(x) - g(x) = x^2 - x :
lim x +infty (x^2 - x) = +infty
E o limite:
Hmm, nesse caso o limite também tende a . Então esse não é o contra-exemplo que precisamos.

Passo 7

Vamos tentar com funções diferentes. Considere:
f(x) = x^2
g(x) = x^2 - x
Calculando o limite da razão:
lim x +infty f(x)g(x) = lim x +infty x^2x^2 - x = lim x +infty 11 - 1x = 1
Aqui, o limite não é , então precisamos ajustar.

Passo 8

Vamos ajustar as funções para que o limite da razão seja f(x) = x^2 . Considere:
g(x) = x ln(x)
lim x +infty f(x)g(x) = lim x +infty x^2x ln(x) = lim x +infty xln(x) = +infty
Calculando o limite da razão:
Agora, cresce muito mais rápido que .

Passo 9

Vamos calcular f(x) - g(x) = x^2 - x ln(x) :
lim x +infty (x^2 - x ln(x)) = +infty
E o limite:
Ainda assim, o limite tende a . Precisamos de um exemplo onde não tende a .

Passo 10

Finalmente, consideremos:
f(x) = e^x
g(x) = e^x - e^x/2
Calculando a razão:
lim x +infty f(x)g(x) = lim x +infty e^xe^x - e^x/2 = lim x +infty 11 - e^-x/2 = 1
Ainda não funciona. Vamos ajustar novamente.

Passo 11

Vamos simplificar e usar funções lineares. Considere:
f(x) = 2x
g(x) = x
Calculando a razão:
lim x +infty f(x)g(x) = lim x +infty 2xx = 2
Ainda não é . Parece que encontrar um contra-exemplo direto é complicado, então vamos reavaliar a afirmação.

Passo 12

Na verdade, a afirmação original está correta: se , então . Portanto, a resposta anterior “Falsa” está errada.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se , então .

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