Verifique se f é contínua e derivável no ponto x0, sendo:
(h) f(x)=clsen(x^2)raizx^2+x^4 & , se x neq 0 0 & , se x=0 x0=0

Passo 1

Entendendo o Problema
Estamos querendo verificar se a função f(x) = sin(x^2)raizx^2+x^4 & , se x neq 0 0 & , se x = 0 é contínua e derivável no ponto . A função é definida da seguinte forma:
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade e derivabilidade em um ponto. Também vamos utilizar limites para analisar o comportamento da função perto de .

Passo 2

Verificando a Continuidade em limx to x0 f(x) = f(x0)
Uma função limx to 0 sin(x^2)raizx^2+x^4 é contínua em raizx^2 + x^4 = raizx^2(1 + x^2) = |x|raiz1 + x^2 = xraiz1 + x^2 (pois x to 0 , x é próximo de 0) se:
limx to 0 sin(x^2)xraiz1 + x^2 = limx to 0 sin(x^2)x^2 cdot x^2xraiz1 + x^2 = limx to 0 sin(x^2)x^2 cdot xraiz1 + x^2
Vamos calcular o limite de limx to 0 sin(x^2)x^2 = 1 quando limx to 0 xraiz1 + x^2 = 0 se aproxima de 0 e comparar com limx to 0 f(x) = 1 cdot 0 = 0 .
Primeiro, observamos que .
Agora, calculamos o limite:
Simplificando o denominador:
éó
Então, o limite fica:
Sabemos que . Aqui, , então:
E:
Portanto:
Como , a função é contínua em .

Passo 3

Verificando a Derivabilidade em f'(x0) = limx to x0 f(x) - f(x0)x - x0
Uma função é derivável em f'(0) = limx to 0 f(x)x = limx to 0 sin(x^2)raizx^2+x^4x = limx to 0 sin(x^2)x cdot raizx^2 + x^4 se o limite da diferença do quociente existir:
raizx^2 + x^4 = xraiz1 + x^2
Como f'(0) = limx to 0 sin(x^2)x cdot x raiz1 + x^2 = limx to 0 sin(x^2)x^2 raiz1 + x^2 e limx to 0 sin(x^2)x^2 = 1 e limx to 0 1raiz1 + x^2 = 1 , temos:
f'(0) = 1 cdot 1 = 1
Simplificando o denominador novamente:
Então:
Sabemos que:
Portanto:
Então, a derivada de em existe e é igual a 1.

Resposta

A função é contínua e derivável no ponto , com a derivada .

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