Verifique se
é contínua e derivável no ponto
, sendo:
(h)
(h)
Passo 1
Entendendo o Problema
Estamos querendo verificar se a função
é contínua e derivável no ponto
. A função é definida da seguinte forma:
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade e derivabilidade em um ponto. Também vamos utilizar limites para analisar o comportamento da função perto de
.
Passo 2
Verificando a Continuidade em
Uma função
é contínua em
se:
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0 e comparar com
.
Primeiro, observamos que
.
Agora, calculamos o limite:
Simplificando o denominador:
Então, o limite fica:
Sabemos que
. Aqui,
, então:
E:
Portanto:
Como
, a função
é contínua em
.
Passo 3
Verificando a Derivabilidade em
Uma função é derivável em
se o limite da diferença do quociente existir:
Como
e
, temos:
Simplificando o denominador novamente:
Então:
Sabemos que:
Portanto:
Então, a derivada de
em
existe e é igual a 1.
Resposta
A função
é contínua e derivável no ponto
, com a derivada
.