Decida se as séries convergem absolutamente, condicionalmente, ou divergem: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries alternadas e testes de convergência. Vamos precisar entender o que significa uma série convergir absolutamente ou condicionalmente e como aplicar os testes de convergência adequados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. Uma série alternada é aquela em que os termos mudam de sinal, como o faz na nossa série. Para analisar a convergência, podemos usar o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz).
Passo 3
O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma converge se duas condições forem satisfeitas:
Os termos diminuem de forma monótona para zero.
O limite de quando tende ao infinito é zero.
Vamos verificar essas condições para .
Passo 4
Primeiro, analisamos se tende a zero quando vai para o infinito:
Isso porque o logaritmo natural cresce sem limites conforme aumenta, fazendo com que se aproxime de zero.
Passo 5
Agora, verificamos se é uma sequência decrescente. Para , aumenta conforme aumenta, então diminui. Assim, é decrescente para .
Passo 6
Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, concluímos que a série converge condicionalmente.
Passo 7
Agora, para verificar a convergência absoluta, analisamos a série dos valores absolutos:
Vamos ver se essa série converge.
Passo 8
Para isso, usamos o Teste da Integral. Consideramos a função f(x) = 1ln x, que é positiva e decrescente para x > e. Avaliamos a integral:
integrale^infty 1ln x dx
Fazendo a substituição u = ln x, du = 1xdx, a integral se transforma em:
integral1^infty e^uu du
Essa integral diverge, pois cresce sem limites à medida que u aumenta.
Passo 9
Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não converge absolutamente.
Resposta
A série sumn >= 1(-1)^n 1ln nconverge condicionalmente.