Decida se as séries convergem absolutamente, condicionalmente, ou divergem: sumn >= 1(-1)^n 1ln n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série sumn >= 1(-1)^n 1ln n converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries alternadas e testes de convergência. Vamos precisar entender o que significa uma série convergir absolutamente ou condicionalmente e como aplicar os testes de convergência adequados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. Uma série alternada é aquela em que os termos mudam de sinal, como o (-1)^n faz na nossa série. Para analisar a convergência, podemos usar o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz).

Passo 3

O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma sum (-1)^n an converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos an diminuem de forma monótona para zero.
  2. O limite de an quando n tende ao infinito é zero.
Vamos verificar essas condições para an = 1ln n.

Passo 4

Primeiro, analisamos se an tende a zero quando n vai para o infinito:
limn to infty 1ln n = 0
Isso porque o logaritmo natural ln n cresce sem limites conforme n aumenta, fazendo com que 1ln n se aproxime de zero.

Passo 5

Agora, verificamos se an é uma sequência decrescente. Para n >= 3, ln n aumenta conforme n aumenta, então 1ln n diminui. Assim, an é decrescente para n >= 3.

Passo 6

Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, concluímos que a série sumn >= 1(-1)^n 1ln n converge condicionalmente.

Passo 7

Agora, para verificar a convergência absoluta, analisamos a série dos valores absolutos:
sumn >= 1 | (-1)^n 1ln n | = sumn >= 1 1ln n
Vamos ver se essa série converge.

Passo 8

Para isso, usamos o Teste da Integral. Consideramos a função f(x) = 1ln x, que é positiva e decrescente para x > e. Avaliamos a integral:
integrale^infty 1ln x dx
Fazendo a substituição u = ln x, du = 1xdx, a integral se transforma em:
integral1^infty e^uu du
Essa integral diverge, pois cresce sem limites à medida que u aumenta.

Passo 9

Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não converge absolutamente.

Resposta

A série sumn >= 1(-1)^n 1ln n converge condicionalmente.

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