Decomponha os quocientes dos Exercícios
em frações parciais.
8.
8.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para decompor a fração
em frações parciais. Isso faz parte do conteúdo de frações parciais na matéria de álgebra. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e ajustar a expressão para facilitar a decomposição.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração original. Olha só:
Perceba que o denominador pode ser fatorado. Vamos fatorar
:
Então, reescrevendo a fração:
Passo 3
Agora, vamos verificar o grau do numerador e do denominador. O grau do numerador é 4 e o do denominador também é 4. Quando os graus são iguais, a gente faz uma divisão polinomial para simplificar. Vamos dividir
por
:
Simplificando, fica:
Passo 4
Agora, vamos focar na parte da fração que sobra:
Para decompor isso em frações parciais, assumimos a seguinte forma:
Passo 5
Vamos multiplicar ambos os lados pela expressão
para eliminar os denominadores:
Expandindo cada termo:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de
dos dois lados da equação:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Resolvendo essas equações:
- De
, temos . - De
, temos . - Substituindo
na primeira equação, . - Substituindo
na segunda equação, , então .
Passo 7
Com os valores de
,
,
e
encontrados, substituímos de volta na expressão das frações parciais:
Simplificando:
Resposta
A decomposição em frações parciais da expressão
é:
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