Decomponha os quocientes dos Exercícios em frações parciais.
8.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para decompor a fração em frações parciais. Isso faz parte do conteúdo de frações parciais na matéria de álgebra. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e ajustar a expressão para facilitar a decomposição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração original. Olha só:
Perceba que o denominador pode ser fatorado. Vamos fatorar :
Então, reescrevendo a fração:

Passo 3

Agora, vamos verificar o grau do numerador e do denominador. O grau do numerador é 4 e o do denominador também é 4. Quando os graus são iguais, a gente faz uma divisão polinomial para simplificar. Vamos dividir por :
Simplificando, fica:

Passo 4

Agora, vamos focar na parte da fração que sobra:
Para decompor isso em frações parciais, assumimos a seguinte forma:

Passo 5

Vamos multiplicar ambos os lados pela expressão para eliminar os denominadores:
Expandindo cada termo:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de dos dois lados da equação:
  1. Coeficiente de :
  2. Coeficiente de :
  3. Coeficiente de :
  4. Termo constante:
Resolvendo essas equações:
  • De , temos .
  • De , temos .
  • Substituindo na primeira equação, .
  • Substituindo na segunda equação, , então .

Passo 7

Com os valores de , , e encontrados, substituímos de volta na expressão das frações parciais:
Simplificando:

Resposta

A decomposição em frações parciais da expressão é:

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