Encontre uma equação vetorial e equações paramétricas para o segmento de reta que liga P(-2, 4, 0) e Q(6,-1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma equação vetorial e equações paramétricas para o segmento de reta que liga os pontos e . Para isso, vamos usar conhecimentos de Geometria Analítica no espaço, especificamente sobre como representar retas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação vetorial de uma reta. Ela é dada por:
Onde:
  • é um ponto qualquer na reta.
  • é um ponto fixo na reta (podemos usar ou ).
  • é o vetor diretor da reta.
  • é um parâmetro real.

Passo 3

Vamos encontrar o vetor diretor . Ele pode ser encontrado subtraindo as coordenadas de e :
Então, .

Passo 4

Agora, escolhemos um dos pontos para ser . Vamos usar . Assim, a equação vetorial da reta fica:
Ou, de forma simplificada:

Passo 5

Para as equações paramétricas, a gente separa cada componente da equação vetorial:

Passo 6

Como estamos falando de um segmento de reta, o parâmetro varia entre 0 e 1. Isso significa que quando , a gente está no ponto , e quando , estamos no ponto .

Resposta

A equação vetorial do segmento de reta que liga e é:
As equações paramétricas correspondentes são:

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