Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indicar a direção em que o parâmetro aumenta. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e vetores. Vamos precisar entender como interpretar a equação vetorial e como ela se traduz em um gráfico no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação vetorial fornecida:
Aqui, representa a posição de um ponto no espaço para cada valor de . As componentes dessa equação são:
  • (constante)

Passo 3

Observamos que a componente é sempre igual a 3, independentemente de . Isso significa que todos os pontos da curva estarão no plano . Então, nossa curva está completamente contida nesse plano.

Passo 4

Agora, vamos analisar as componentes e :
Sabemos pela identidade trigonométrica que:
Substituindo e :
Isso mostra que a projeção da curva no plano é um círculo de raio 1, centrado na origem do plano .

Passo 5

Então, nossa curva no espaço tridimensional é um círculo de raio 1 no plano . Já que é constante, a curva fica paralela ao plano e elevada a uma altura de 3 unidades no eixo .

Passo 6

Agora, vamos indicar a direção em que o parâmetro cresce. Para isso, analisamos como afeta as componentes e :
  • Quando :
  • À medida que aumenta, aumenta até , onde , e diminui até , onde .
Isso indica que a direção do movimento na curva é no sentido anti-horário quando vista do alto (olhando na direção negativa do eixo ).

Resposta

A curva é um círculo de raio 1 localizado no plano no espaço tridimensional. O sentido de aumentar segue uma trajetória anti-horária quando observado de cima. Assim, ao esboçar, desenhe um círculo no plano e use setas seguindo esse sentido para indicar a direção crescente do parâmetro .

Exercícios relacionados

Decomponha os quocientes dos Exercícios em frações parciais.
8.
Faça um box-plot da variável V associada aos vendedores que trabalham na zona sul.
Encontre uma equação vetorial e equações paramétricas para o segmento de reta que liga e .
Utilize um computador para traçar a curva da equação vetorial dada. Escolha o domínio do parâmetro e ponto de vista de forma a revelar a verdadeira natureza da curva.