Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indicar a direção em que o parâmetro
aumenta. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e vetores. Vamos precisar entender como interpretar a equação vetorial e como ela se traduz em um gráfico no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação vetorial fornecida:
Aqui,
representa a posição de um ponto no espaço para cada valor de
. As componentes dessa equação são:
-
-
(constante) -
Passo 3
Observamos que a componente
é sempre igual a 3, independentemente de
. Isso significa que todos os pontos da curva estarão no plano
. Então, nossa curva está completamente contida nesse plano.
Passo 4
Agora, vamos analisar as componentes
e
:
Sabemos pela identidade trigonométrica que:
Substituindo
e
:
Isso mostra que a projeção da curva no plano
é um círculo de raio 1, centrado na origem do plano
.
Passo 5
Então, nossa curva no espaço tridimensional é um círculo de raio 1 no plano
. Já que
é constante, a curva fica paralela ao plano
e elevada a uma altura de 3 unidades no eixo
.
Passo 6
Agora, vamos indicar a direção em que o parâmetro
cresce. Para isso, analisamos como
afeta as componentes
e
:
- Quando
: - À medida que
aumenta, aumenta até , onde , e diminui até , onde .
Isso indica que a direção do movimento na curva é no sentido anti-horário quando vista do alto (olhando na direção negativa do eixo
).
Resposta
A curva é um círculo de raio 1 localizado no plano
no espaço tridimensional. O sentido de
aumentar segue uma trajetória anti-horária quando observado de cima. Assim, ao esboçar, desenhe um círculo no plano
e use setas seguindo esse sentido para indicar a direção crescente do parâmetro
.
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.
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