Para decorar sua casa, uma pessoa comprou um vaso de vidro em forma de um paralelepípedo retangular, cujas medidas internas são: 40 cm de comprimento, 35 cm de largura e 60 cm de altura. Em seguida, foi até uma floricultura e escolheu uma planta aquática para colocar nesse vaso. Segundo uma proposta do gerente do local, essa pessoa avaliou a possibilidade de enfeitar o vaso colocando uma certa quantidade de pedrinhas artificiais brancas, de volume igual a 100 cm³ cada uma delas, que ficarão totalmente imersas na água que será colocada no vaso. O gerente alertou que seria adequado, em função da planta escolhida, que metade do volume do vaso fosse preenchido com água e que, após as pedrinhas colocadas, a altura da água deveria ficar a 10 cm do topo do vaso, dando um razoável espaço para o crescimento da planta. A pessoa aceitou as sugestões apresentadas, adquirindo, além da planta, uma quantidade mínima de pedrinhas, satisfazendo as indicações do gerente.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão nos pede. Temos um vaso em forma de paralelepípedo retangular com as seguintes medidas internas: 40 cm de comprimento, 35 cm de largura e 60 cm de altura. Queremos colocar água, uma planta aquática e pedrinhas artificiais no vaso. Segundo o gerente da floricultura, metade do volume do vaso deve ser preenchido com água e, após adicionar as pedrinhas, a altura da água deve ficar a 10 cm do topo do vaso. Cada pedrinha tem um volume de 100 cm³. Nosso objetivo é descobrir quantas pedrinhas são necessárias para atender a essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume total do vaso. Como o vaso é um paralelepípedo, o volume $ V $ é dado por:
Substituindo os valores:
Passo 3
Segundo o gerente, metade do volume do vaso deve ser preenchido com água. Então, o volume de água $ V_{água} $ é:
Passo 4
Agora, precisamos considerar que após adicionar as pedrinhas, a altura da água deve ficar a 10 cm do topo do vaso. Isso significa que a altura da água será de $ 60, cm - 10, cm = 50, cm $.
Passo 5
Vamos calcular o volume de água correspondendo a 50 cm de altura no vaso. Usamos a mesma fórmula do volume:
Substituindo os valores:
Passo 6
Mas lembra do gerente? Ele disse que metade do volume do vaso deve ser água, que calculamos como 42,000 cm³. Agora, com a altura da água ajustada para 50 cm, chegamos a 70,000 cm³, que é maior que o volume inicial de água. Isso indica que precisamos ajustar isso. Vamos resolver de outra forma.
Passo 7
A presença das pedrinhas ocupa parte do volume que seria ocupado pela água. Então, a soma do volume de água e das pedrinhas deve ser igual a metade do volume do vaso. Vamos chamar $ n $ de número de pedrinhas:
Sabemos que cada pedrinha tem 100 cm³, então:
Passo 8
Também sabemos que a altura da água após adicionar as pedrinhas deve ser 50 cm (10 cm abaixo do topo). Vamos calcular o volume que essa altura corresponde:
Então, a soma do volume de água e das pedrinhas deve ser 70,000 cm³:
Passo 9
Agora temos um sistema de duas equações:
Percebemos que algo está errado, pois essas equações são incompatíveis. Isso nos mostra que precisamos revisar nossos cálculos e entender que a presença das pedrinhas faz com que o nível da água suba até 50 cm, ocupando parte do volume reservado para a água.
Passo 10
Vamos considerar que o volume de água mais o volume das pedrinhas deve ocupar metade do vaso, e que a altura da água será 50 cm, deixando 10 cm de espaço no topo. Assim:
Mas 70,000 cm³ > 42,000 cm³, indicando que o volume das pedrinhas reduz o volume disponível para água.
Passo 11
Vamos ajustar: o volume total disponível para água e pedrinhas é 42,000 cm³. A altura da água é 50 cm, então o volume de água mais pedrinhas deve preencher esse espaço:
Então:
E também:
Substituindo:
Claramente, há um equívoco na interpretação inicial. A solução correta envolve entender que a água ocupa o espaço restante após as pedrinhas.
Passo 12
Vamos recomeçar com clareza: o volume total do vaso é 84,000 cm³. Metade desse volume, 42,000 cm³, deve ser ocupado por água e pedrinhas juntas. Além disso, a altura da água com pedrinhas deve ser 50 cm.
Calculamos o volume correspondente a 50 cm de altura:
Esse volume inclui a água e as pedrinhas, que juntos devem ser 42,000 cm³. Portanto:
Sabemos que:
Substituindo na primeira equação:
Isso mostra que não é possível ter ambos os requisitos simultaneamente com a metade do volume. Portanto, precisamos ajustar nosso entendimento: a altura de 50 cm indica que a água, após adicionar as pedrinhas, ocupa essa altura, utilizando metade do volume do vaso.
Passo 13
Desculpe pela confusão anterior. A forma correta é considerar que o volume disponível para a água, após adicionar as pedrinhas, deve ocupar até 50 cm de altura, e esse volume juntamente com as pedrinhas deve ser igual a metade do vaso, 42,000 cm³.
Então:
Mas só temos 42,000 cm³ para água e pedrinhas:
Portanto:
Isso não faz sentido, então nossa abordagem está errada. A solução correta é calcular o volume das pedrinhas que, ao serem adicionadas à água, fazem com que o nível da água suba para 50 cm, respeitando que o total (água + pedrinhas) é 42,000 cm³.
Passo 14
Vamos relacionar o volume das pedrinhas com o aumento do nível da água. O volume deslocado pelas pedrinhas fará com que a água ocupe mais espaço. Queremos que o volume total (água + pedrinhas) seja 42,000 cm³ e que a altura da água seja 50 cm.
Então:
Mas o total permitido é 42,000 cm³, então:
Ainda inconsistente. Parece que há um erro na interpretação do problema. Precisamos reavaliar os dados.
Passo 15
Após reavaliar, concluímos que, para que a água alcance 50 cm de altura, o volume de água deslocado pelas pedrinhas deve fazer com que o nível da água suba até 50 cm, mantendo o total de água e pedrinhas em 42,000 cm³.
Então:
Mas temos apenas 42,000 cm³ disponíveis, então o volume das pedrinhas é:
Como cada pedrinha tem 100 cm³:
Resposta
A pessoa precisou comprar 280 pedrinhas artificiais para decorar o vaso conforme as orientações do gerente.