Deduza a Equação da continuidade de um soluto A ou em termos mássicos ou em termos molares em coordenadas cartesianas

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer deduzir a Equação da Continuidade para um soluto , seja em termos de massa ou molares, usando coordenadas cartesianas. Essa equação é fundamental para entender como a quantidade do soluto se comporta em um sistema, levando em conta sua conservação. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de conservação de massa (ou molar), taxas de fluxo e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Equação da Continuidade expressa a conservação de uma quantidade (massa ou molar) em um sistema. Isso significa que qualquer variação na quantidade do soluto dentro de um volume é igual ao fluxo de entrada menos o fluxo de saída mais qualquer geração ou consumo dentro desse volume.

Passo 3

Vamos começar considerando a quantidade de soluto em um pequeno volume diferencial em coordenadas cartesianas . A quantidade de nesse volume é dada por , que pode ser a densidade de massa ou a concentração molar.

Passo 4

Agora, consideramos o fluxo de partial rhoApartial t + partial (rhoA vx)partial x + partial (rhoA vy)partial y + partial (rhoA vz)partial z = RA nas direções , e . Esse fluxo pode ser descrito pela taxa de variação da quantidade de em cada direção. Em coordenadas cartesianas, usamos derivadas parciais para representar essas variações. A taxa de variação temporal da quantidade de é igual à soma das derivadas dos fluxos em cada direção mais qualquer geração ou consumo :
Aqui, , , e são as componentes da velocidade do fluxo de nas direções , e respectivamente.

Passo 5

Se não há geração ou consumo do soluto partial rhoApartial t + partial (rhoA vx)partial x + partial (rhoA vy)partial y + partial (rhoA vz)partial z = 0 no sistema ( ), a equação simplifica para:
Essa é a forma geral da Equação da Continuidade para um soluto em coordenadas cartesianas, considerando conservação de massa ou quantidade molar.

Resposta

A Equação da Continuidade para o soluto partial rhoApartial t + partial (rhoA vx)partial x + partial (rhoA vy)partial y + partial (rhoA vz)partial z = RA em coordenadas cartesianas é dada por:
Onde:
  • é a densidade de massa ou concentração molar do soluto ,
  • , , são as componentes da velocidade do fluxo de nas direções , e ,
  • representa a taxa de geração ou consumo do soluto .
Essa equação assegura que a quantidade de seja conservada no sistema, levando em conta os fluxos nas três direções espaciais e qualquer reação que possa ocorrer.

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