Determinar o perfil de velocidade, o perfil de tensão, velocidade máxima, velocidade média, vazão volumétrica, para o escoamento livre e unidimensional de um líquido Newtoniano incompressível em uma placa inclinada (angulação beta ) em regime permanente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Mecânica dos Fluidos, especificamente sobre o escoamento livre e unidimensional de um líquido Newtoniano incompressível em uma placa inclinada com ângulo de inclinação beta. A gente precisa determinar várias coisas: o perfil de velocidade, o perfil de tensão, a velocidade máxima, a velocidade média e a vazão volumétrica desse líquido. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos como a equação de Navier-Stokes para escoamentos laminares e entender como a gravidade atua no sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o sistema de coordenadas. Imaginemos que a placa inclinada está no plano x-z, com x sendo a direção ao longo da placa e z perpendicular a ela (direção na qual o fluido se espalha). A gravidade age com aceleração g na direção vertical, formando um ângulo beta com a normal à placa.

Passo 3

Como o escoamento é unidimensional e estacionário (em regime permanente), a velocidade do fluido depende apenas da posição perpendicular à placa, ou seja, só varia com z. Assim, a velocidade pode ser representada como u(z) na direção do fluxo ( x).

Passo 4

Vamos aplicar a equação de Navier-Stokes simplificada para esse caso. Considerando que o fluido é incompressível e Newtoniano, e que não há variação de pressão ao longo da direção do fluxo, a equação fica:
0 = mu d^2 udz^2 + rho g sin(beta)
Aqui, mu é a viscosidade dinâmica do fluido e rho é a densidade.

Passo 5

Essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. Para resolvê-la, vamos integrar duas vezes em relação a z:
Primeira integração:
mu d udz = -rho g sin(beta) z + C1
Segunda integração:
u(z) = -rho g sin(beta)2mu z^2 + C1 z + C2
Onde C1 e C2 são constantes de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 6

As condições de contorno para esse problema são:
  1. Na placa inclinada ( z = 0): a velocidade do fluido é igual à velocidade da placa. Se a placa está parada, então u(0) = 0.
  2. Na superfície livre: a tensão de cisalhamento é zero, ou seja, dudz = 0.
Aplicando a primeira condição:
u(0) = 0 = -rho g sin(beta)2mu (0)^2 + C1 cdot 0 + C2 Rightarrow C2 = 0
Aplicando a segunda condição:
dudz|z = h = 0 = -rho g sin(beta)mu h + C1 Rightarrow C1 = rho g sin(beta)mu h
Aqui, h é a espessura do fluxo na direção z.

Passo 7

Substituindo as constantes de integração de volta na expressão de u(z), temos:
u(z) = -rho g sin(beta)2mu z^2 + rho g sin(beta)mu h z
Podemos reescrever isso como:
u(z) = rho g sin(beta)2mu (2h z - z^2)

Passo 8

Perfil de Velocidade: A expressão final para o perfil de velocidade é:
u(z) = rho g sin(beta)2mu (2h z - z^2)
Isso mostra como a velocidade varia ao longo da espessura do fluxo z.

Passo 9

Perfil de Tensão: A tensão de cisalhamento tau(z) no fluido é dada por:
tau(z) = mu dudz = mu (rho g sin(beta)mu h - rho g sin(beta)mu z) = rho g sin(beta) (h - z)
Então, a tensão de cisalhamento diminui linearmente de z = 0 até z = h.

Passo 10

Velocidade Máxima: Para encontrar a velocidade máxima, derivamos u(z) em relação a z e igualamos a zero:
dudz = rho g sin(beta)2mu (2h - 2z) = 0 Rightarrow z = h
Substituindo z = h na expressão de u(z):
umáx = rho g sin(beta)2mu (2h cdot h - h^2) = rho g sin(beta) h^22mu á

Passo 11

Velocidade Média: A velocidade média umédiaé é a média de u(z) ao longo da espessura h:
umédia = 1h integral0^h u(z) , dz = 1h integral0^h rho g sin(beta)2mu (2h z - z^2) , dz é
Integrando:
umédia = rho g sin(beta)2mu h [ h z^2 - z^33 ]0^h = rho g sin(beta)2mu h ( h^3 - h^33 ) = rho g sin(beta) h^23mu é

Passo 12

Vazão Volumétrica: A vazão Q é a integral da velocidade sobre a área da seção:
Q = integral0^h u(z) , dz = integral0^h rho g sin(beta)2mu (2h z - z^2) , dz = rho g sin(beta)2mu cdot 2h^33 = rho g sin(beta) h^33mu

Resposta

Resumo das soluções encontradas:
  • Perfil de Velocidade:
    u(z) = rho g sin(beta)2mu (2h z - z^2)
  • Perfil de Tensão:
    tau(z) = rho g sin(beta) (h - z)
  • Velocidade Máxima:
    umáx = rho g sin(beta) h^22mu á
  • Velocidade Média:
    umédia = rho g sin(beta) h^23mu é
  • Vazão Volumétrica:
    Q = rho g sin(beta) h^33mu
Esses resultados descrevem como o fluido se comporta ao longo da placa inclinada, considerando a aç��o da gravidade e as propriedades viscoelásticas do líquido.

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