Determinar o perfil de velocidade, o perfil de tensão, velocidade máxima, velocidade média, vazão volumétrica, para o escoamento livre e unidimensional de um líquido Newtoniano incompressível em uma placa inclinada (angulação ) em regime permanente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Mecânica dos Fluidos, especificamente sobre o escoamento livre e unidimensional de um líquido Newtoniano incompressível em uma placa inclinada com ângulo de inclinação . A gente precisa determinar várias coisas: o perfil de velocidade, o perfil de tensão, a velocidade máxima, a velocidade média e a vazão volumétrica desse líquido. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos como a equação de Navier-Stokes para escoamentos laminares e entender como a gravidade atua no sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o sistema de coordenadas. Imaginemos que a placa inclinada está no plano , com sendo a direção ao longo da placa e perpendicular a ela (direção na qual o fluido se espalha). A gravidade age com aceleração na direção vertical, formando um ângulo com a normal à placa.
Passo 3
Como o escoamento é unidimensional e estacionário (em regime permanente), a velocidade do fluido depende apenas da posição perpendicular à placa, ou seja, só varia com . Assim, a velocidade pode ser representada como na direção do fluxo ().
Passo 4
Vamos aplicar a equação de Navier-Stokes simplificada para esse caso. Considerando que o fluido é incompressível e Newtoniano, e que não há variação de pressão ao longo da direção do fluxo, a equação fica:
Aqui, é a viscosidade dinâmica do fluido e é a densidade.
Passo 5
Essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. Para resolvê-la, vamos integrar duas vezes em relação a :
Primeira integração:
Segunda integração:
Onde e são constantes de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 6
As condições de contorno para esse problema são:
Na placa inclinada (): a velocidade do fluido é igual à velocidade da placa. Se a placa está parada, então .
Na superfície livre: a tensão de cisalhamento é zero, ou seja, .
Aplicando a primeira condição:
Aplicando a segunda condição:
Aqui, é a espessura do fluxo na direção .
Passo 7
Substituindo as constantes de integração de volta na expressão de , temos:
Podemos reescrever isso como:
Passo 8
Perfil de Velocidade: A expressão final para o perfil de velocidade é:
Isso mostra como a velocidade varia ao longo da espessura do fluxo .
Passo 9
Perfil de Tensão: A tensão de cisalhamento no fluido é dada por:
Então, a tensão de cisalhamento diminui linearmente de até .
Passo 10
Velocidade Máxima: Para encontrar a velocidade máxima, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Substituindo na expressão de :
á
Passo 11
Velocidade Média: A velocidade média é é a média de ao longo da espessura :
é
Integrando:
é
Passo 12
Vazão Volumétrica: A vazão é a integral da velocidade sobre a área da seção:
Resposta
Resumo das soluções encontradas:
Perfil de Velocidade:
Perfil de Tensão:
Velocidade Máxima:
á
Velocidade Média:
é
Vazão Volumétrica:
Esses resultados descrevem como o fluido se comporta ao longo da placa inclinada, considerando a aç��o da gravidade e as propriedades viscoelásticas do líquido.