Determinar o perfil de velocidade, o perfil de tensão, velocidade máxima, velocidade média, vazão volumétrica, para o escoamento livre e unidimensional de um líquido Newtoniano incompressível em uma placa inclinada (angulação ) em regime permanente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Mecânica dos Fluidos, especificamente sobre o escoamento livre e unidimensional de um líquido Newtoniano incompressível em uma placa inclinada com ângulo de inclinação . A gente precisa determinar várias coisas: o perfil de velocidade, o perfil de tensão, a velocidade máxima, a velocidade média e a vazão volumétrica desse líquido. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos como a equação de Navier-Stokes para escoamentos laminares e entender como a gravidade atua no sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o sistema de coordenadas. Imaginemos que a placa inclinada está no plano , com sendo a direção ao longo da placa e perpendicular a ela (direção na qual o fluido se espalha). A gravidade age com aceleração na direção vertical, formando um ângulo com a normal à placa.
Passo 3
Como o escoamento é unidimensional e estacionário (em regime permanente), a velocidade do fluido depende apenas da posição perpendicular à placa, ou seja, só varia com . Assim, a velocidade pode ser representada como na direção do fluxo ().
Passo 4
Vamos aplicar a equação de Navier-Stokes simplificada para esse caso. Considerando que o fluido é incompressível e Newtoniano, e que não há variação de pressão ao longo da direção do fluxo, a equação fica:
Aqui, é a viscosidade dinâmica do fluido e é a densidade.
Passo 5
Essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. Para resolvê-la, vamos integrar duas vezes em relação a :
Primeira integração:
Segunda integração:
Onde e são constantes de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 6
As condições de contorno para esse problema são:
Na placa inclinada (): a velocidade do fluido é igual à velocidade da placa. Se a placa está parada, então .
Na superfície livre: a tensão de cisalhamento é zero, ou seja, .
Aplicando a primeira condição:
Aplicando a segunda condição:
Aqui, h é a espessura do fluxo na direção z.
Passo 7
Substituindo as constantes de integração de volta na expressão de u(z), temos:
u(z) = -rho g sin(beta)2mu z^2 + rho g sin(beta)mu h z
Podemos reescrever isso como:
u(z) = rho g sin(beta)2mu (2h z - z^2)
Passo 8
Perfil de Velocidade: A expressão final para o perfil de velocidade é:
u(z) = rho g sin(beta)2mu (2h z - z^2)
Isso mostra como a velocidade varia ao longo da espessura do fluxo z.
Passo 9
Perfil de Tensão: A tensão de cisalhamento tau(z) no fluido é dada por:
tau(z) = mu dudz = mu (rho g sin(beta)mu h - rho g sin(beta)mu z) = rho g sin(beta) (h - z)
Então, a tensão de cisalhamento diminui linearmente de z = 0 até z = h.
Passo 10
Velocidade Máxima: Para encontrar a velocidade máxima, derivamos u(z) em relação a z e igualamos a zero:
dudz = rho g sin(beta)2mu (2h - 2z) = 0 Rightarrow z = h
Substituindo z = h na expressão de u(z):
umáx = rho g sin(beta)2mu (2h cdot h - h^2) = rho g sin(beta) h^22mu á
Passo 11
Velocidade Média: A velocidade média umédiaé é a média de u(z) ao longo da espessura h:
umédia = 1h integral0^h u(z) , dz = 1h integral0^h rho g sin(beta)2mu (2h z - z^2) , dz é
Integrando:
umédia = rho g sin(beta)2mu h [ h z^2 - z^33 ]0^h = rho g sin(beta)2mu h ( h^3 - h^33 ) = rho g sin(beta) h^23mu é
Passo 12
Vazão Volumétrica: A vazão Q é a integral da velocidade sobre a área da seção:
Q = integral0^h u(z) , dz = integral0^h rho g sin(beta)2mu (2h z - z^2) , dz = rho g sin(beta)2mu cdot 2h^33 = rho g sin(beta) h^33mu
Resposta
Resumo das soluções encontradas:
Perfil de Velocidade:
u(z) = rho g sin(beta)2mu (2h z - z^2)
Perfil de Tensão:
tau(z) = rho g sin(beta) (h - z)
Velocidade Máxima:
umáx = rho g sin(beta) h^22mu á
Velocidade Média:
umédia = rho g sin(beta) h^23mu é
Vazão Volumétrica:
Q = rho g sin(beta) h^33mu
Esses resultados descrevem como o fluido se comporta ao longo da placa inclinada, considerando a aç��o da gravidade e as propriedades viscoelásticas do líquido.