Determinar o perfil de velocidade, o perfil de tensão, velocidade máxima, velocidade média, vazão volumétrica, para o escoamento livre e unidimensional de um líquido Newtoniano incompressível em uma placa inclinada (angulação ) em regime permanente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Mecânica dos Fluidos, especificamente sobre o escoamento livre e unidimensional de um líquido Newtoniano incompressível em uma placa inclinada com ângulo de inclinação . A gente precisa determinar várias coisas: o perfil de velocidade, o perfil de tensão, a velocidade máxima, a velocidade média e a vazão volumétrica desse líquido. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos como a equação de Navier-Stokes para escoamentos laminares e entender como a gravidade atua no sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o sistema de coordenadas. Imaginemos que a placa inclinada está no plano , com sendo a direção ao longo da placa e perpendicular a ela (direção na qual o fluido se espalha). A gravidade age com aceleração na direção vertical, formando um ângulo com a normal à placa.

Passo 3

Como o escoamento é unidimensional e estacionário (em regime permanente), a velocidade do fluido depende apenas da posição perpendicular à placa, ou seja, só varia com . Assim, a velocidade pode ser representada como na direção do fluxo ( ).

Passo 4

Vamos aplicar a equação de Navier-Stokes simplificada para esse caso. Considerando que o fluido é incompressível e Newtoniano, e que não há variação de pressão ao longo da direção do fluxo, a equação fica:
Aqui, é a viscosidade dinâmica do fluido e é a densidade.

Passo 5

Essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. Para resolvê-la, vamos integrar duas vezes em relação a :
Primeira integração:
Segunda integração:
Onde e são constantes de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 6

As condições de contorno para esse problema são:
  1. Na placa inclinada ( ): a velocidade do fluido é igual à velocidade da placa. Se a placa está parada, então .
  2. Na superfície livre: a tensão de cisalhamento é zero, ou seja, .
Aplicando a primeira condição:
Aplicando a segunda condição:
Aqui, é a espessura do fluxo na direção .

Passo 7

Substituindo as constantes de integração de volta na expressão de , temos:
Podemos reescrever isso como:

Passo 8

Perfil de Velocidade: A expressão final para o perfil de velocidade é:
Isso mostra como a velocidade varia ao longo da espessura do fluxo .

Passo 9

Perfil de Tensão: A tensão de cisalhamento no fluido é dada por:
Então, a tensão de cisalhamento diminui linearmente de até .

Passo 10

Velocidade Máxima: Para encontrar a velocidade máxima, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Substituindo na expressão de :
á

Passo 11

Velocidade Média: A velocidade média é é a média de ao longo da espessura :
é
Integrando:
é

Passo 12

Vazão Volumétrica: A vazão é a integral da velocidade sobre a área da seção:

Resposta

Resumo das soluções encontradas:
  • Perfil de Velocidade:
  • Perfil de Tensão:
  • Velocidade Máxima:
    á
  • Velocidade Média:
    é
  • Vazão Volumétrica:
Esses resultados descrevem como o fluido se comporta ao longo da placa inclinada, considerando a aç��o da gravidade e as propriedades viscoelásticas do líquido.

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