Deduza uma expressão para a viscosidade de suspensões diluídas de esferas rígidas em um fluido newtoniano.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para deduzir uma expressão para a viscosidade de suspensões diluídas de esferas rígidas em um fluido newtoniano. Isso está ligado à matéria de fluidos e viscosidade. Para resolver, vamos precisar entender como partículas sólidas (as esferas) afetam a viscosidade de um fluido que já tem uma viscosidade definida (o fluido newtoniano).
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é um fluido newtoniano. Um fluido newtoniano é aquele cuja viscosidade permanece constante, independentemente da taxa de deformação ou esforço de cisalhamento aplicado a ele. Exemplo clássico: água ou ar. A viscosidade desse fluido puro vamos chamar de
.
Passo 3
Agora, uma suspensão diluída significa que a quantidade de partículas sólidas (as esferas rígidas) está em baixa concentração no fluido. Ou seja, as esferas estão bem espalhadas e não interagem muito entre si. A fração volumétrica dessas esferas vamos chamar de
.
Passo 4
Quando adicionamos essas esferas ao fluido, a viscosidade da mistura aumenta. Queremos descobrir como essa viscosidade total, que vamos chamar de
, se relaciona com a viscosidade do fluido puro
e com a fração volumétrica
das esferas.
Passo 5
Para suspensões diluídas, Einstein desenvolveu uma fórmula que relaciona a viscosidade total da suspensão com a viscosidade do fluido puro e a fração de partículas sólidas. A ideia é que, a cada partícula adicionada, a viscosidade aumenta proporcionalmente a essa fração.
Passo 6
Usando a abordagem de Einstein, a expressão para a viscosidade da suspensão
é dada por:
Aqui,
é o coeficiente que veio da consideração das interações entre as partículas e o fluido em uma suspensão diluída.
Resposta
A viscosidade da suspensão é dada por
.