Deduza uma expressão para a viscosidade de suspensões diluídas de esferas rígidas em um fluido newtoniano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para deduzir uma expressão para a viscosidade de suspensões diluídas de esferas rígidas em um fluido newtoniano. Isso está ligado à matéria de fluidos e viscosidade. Para resolver, vamos precisar entender como partículas sólidas (as esferas) afetam a viscosidade de um fluido que já tem uma viscosidade definida (o fluido newtoniano).

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é um fluido newtoniano. Um fluido newtoniano é aquele cuja viscosidade permanece constante, independentemente da taxa de deformação ou esforço de cisalhamento aplicado a ele. Exemplo clássico: água ou ar. A viscosidade desse fluido puro vamos chamar de eta0.

Passo 3

Agora, uma suspensão diluída significa que a quantidade de partículas sólidas (as esferas rígidas) está em baixa concentração no fluido. Ou seja, as esferas estão bem espalhadas e não interagem muito entre si. A fração volumétrica dessas esferas vamos chamar de phi.

Passo 4

Quando adicionamos essas esferas ao fluido, a viscosidade da mistura aumenta. Queremos descobrir como essa viscosidade total, que vamos chamar de eta, se relaciona com a viscosidade do fluido puro eta0 e com a fração volumétrica phi das esferas.

Passo 5

Para suspensões diluídas, Einstein desenvolveu uma fórmula que relaciona a viscosidade total da suspensão com a viscosidade do fluido puro e a fração de partículas sólidas. A ideia é que, a cada partícula adicionada, a viscosidade aumenta proporcionalmente a essa fração.

Passo 6

Usando a abordagem de Einstein, a expressão para a viscosidade da suspensão eta é dada por:
eta = eta0 (1 + 52phi)
Aqui, 52 é o coeficiente que veio da consideração das interações entre as partículas e o fluido em uma suspensão diluída.

Resposta

A viscosidade da suspensão é dada por eta = eta0 (1 + 52 phi).

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