Para intervalos moderados de temperatura, o volume especifico varia linearmente com a temperatura. Deduza uma expressão para a densidade em função da temperatura.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que, para intervalos moderados de temperatura, o volume específico varia de forma linear com a temperatura. Nosso objetivo aqui é deduzir uma expressão para a densidade em função da temperatura. Então, vamos usar conceitos de termodinâmica básicos, especificamente a relação entre volume específico e densidade, e como elas mudam com a temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que densidade ( rho) e volume específico ( v) estão relacionados. A densidade é o inverso do volume específico:
rho = 1v
Isso significa que, se conseguirmos uma expressão para v em função da temperatura ( T), podemos facilmente achar rho(T).

Passo 3

Segundo o enunciado, o volume específico varia linearmente com a temperatura. Isso quer dizer que podemos expressar v como uma função linear de T:
v = a + bT
Aqui, a e b são constantes que dependem das condições iniciais do sistema, como o volume específico em uma temperatura de referência e o coeficiente de expansão volumétrica.

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão de v na fórmula da densidade:
rho = 1v = 1a + bT
Então, a densidade é inversamente proporcional a uma função linear da temperatura.

Passo 5

Podemos também rearranjar essa expressão para destacar a dependência da densidade em relação à temperatura:
rho(T) = 1a + bT
Isso mostra claramente que, conforme a temperatura aumenta, o volume específico aumenta (já que v aumenta), e portanto, a densidade diminui.

Resposta

A densidade em função da temperatura é dada por:
rho(T) = 1a + bT

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