Para intervalos moderados de temperatura, o volume especifico varia linearmente com a temperatura. Deduza uma expressão para a densidade em função da temperatura.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que, para intervalos moderados de temperatura, o volume específico varia de forma linear com a temperatura. Nosso objetivo aqui é deduzir uma expressão para a densidade em função da temperatura. Então, vamos usar conceitos de termodinâmica básicos, especificamente a relação entre volume específico e densidade, e como elas mudam com a temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que densidade (
) e volume específico (
) estão relacionados. A densidade é o inverso do volume específico:
Isso significa que, se conseguirmos uma expressão para
em função da temperatura (
), podemos facilmente achar
.
Passo 3
Segundo o enunciado, o volume específico varia linearmente com a temperatura. Isso quer dizer que podemos expressar
como uma função linear de
:
Aqui,
e
são constantes que dependem das condições iniciais do sistema, como o volume específico em uma temperatura de referência e o coeficiente de expansão volumétrica.
Passo 4
Agora, substituímos essa expressão de
na fórmula da densidade:
Então, a densidade é inversamente proporcional a uma função linear da temperatura.
Passo 5
Podemos também rearranjar essa expressão para destacar a dependência da densidade em relação à temperatura:
Isso mostra claramente que, conforme a temperatura aumenta, o volume específico aumenta (já que
aumenta), e portanto, a densidade diminui.
Resposta
A densidade em função da temperatura é dada por: