Deduza, geometricamente, o fator de empacotamento atômico (FEA) para as estruturas CCC e CFC.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos deduzir o Fator de Empacotamento Atômico (FEA) para duas estruturas cristalinas: CCC (Cubo de Corpo Centrado) e CFC (Cubo de Face Centrada). O FEA nos mostra quão eficientemente os átomos estão empacotados dentro de uma célula unitária. Para isso, vamos precisar conhecer a relação entre o raio atômico e o tamanho da célula unitária, além de calcular os volumes envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o FEA para a estrutura CCC. No Cubo de Corpo Centrado, temos 2 átomos por célula unitária. Geometricamente, os átomos tocando-se formam uma diagonal do cubo. Usando o teorema de Pitágoras, sabemos que a diagonal do cubo é igual a 4r, onde r é o raio do átomo. A diagonal do cubo também pode ser expressa em termos da aresta do cubo a como araiz3. Igualando as duas expressões:
araiz3 = 4r implies a = 4rraiz3

Passo 3

Agora, calculamos os volumes. O volume de uma célula unitária é a^3. Substituindo a:
Vcélula = (4rraiz3)^3 = 64r^33raiz3 é
O volume total dos átomos na célula é 2 vezes o volume de um átomo ( 43pi r^3):
Vátomos = 2 times 43pi r^3 = 83pi r^3 á

Passo 4

O FEA é a razão entre o volume dos átomos e o volume da célula unitária:
FEACCC = 83pi r^364r^33raiz3 = 8pi64/raiz3 = piraiz38 approx 0,74 ou 74%

Passo 5

Agora, vamos calcular o FEA para a estrutura CFC. No Cubo de Face Centrada, temos 4 átomos por célula unitária. Aqui, os átomos na face do cubo se tocam diagonalmente na face. A diagonal da face é araiz2 e é igual a 4r. Assim:
araiz2 = 4r implies a = 4rraiz2 = 2raiz2r

Passo 6

Calculamos o volume da célula unitária:
Vcélula = (2raiz2r)^3 = 16raiz2r^3 é
O volume total dos átomos na célula é 4 vezes o volume de um átomo:
Vátomos = 4 times 43pi r^3 = 163pi r^3 á

Passo 7

Calculamos o FEA para a estrutura CFC:
FEACFC = 163pi r^316raiz2r^3 = pi3raiz2 approx 0,74 ou 74%

Resposta

O Fator de Empacotamento Atômico (FEA) para ambas as estruturas CCC e CFC é aproximadamente 74%.

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