Deduza, geometricamente, o fator de empacotamento atômico (FEA) para as estruturas CCC e CFC.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos deduzir o Fator de Empacotamento Atômico (FEA) para duas estruturas cristalinas: CCC (Cubo de Corpo Centrado) e CFC (Cubo de Face Centrada). O FEA nos mostra quão eficientemente os átomos estão empacotados dentro de uma célula unitária. Para isso, vamos precisar conhecer a relação entre o raio atômico e o tamanho da célula unitária, além de calcular os volumes envolvidos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o FEA para a estrutura CCC. No Cubo de Corpo Centrado, temos 2 átomos por célula unitária. Geometricamente, os átomos tocando-se formam uma diagonal do cubo. Usando o teorema de Pitágoras, sabemos que a diagonal do cubo é igual a
, onde
é o raio do átomo. A diagonal do cubo também pode ser expressa em termos da aresta do cubo
como
. Igualando as duas expressões:
Passo 3
Agora, calculamos os volumes. O volume de uma célula unitária é
. Substituindo
:
O volume total dos átomos na célula é 2 vezes o volume de um átomo (
):
Passo 4
O FEA é a razão entre o volume dos átomos e o volume da célula unitária:
Passo 5
Agora, vamos calcular o FEA para a estrutura CFC. No Cubo de Face Centrada, temos 4 átomos por célula unitária. Aqui, os átomos na face do cubo se tocam diagonalmente na face. A diagonal da face é
e é igual a
. Assim:
Passo 6
Calculamos o volume da célula unitária:
O volume total dos átomos na célula é 4 vezes o volume de um átomo:
Passo 7
Calculamos o FEA para a estrutura CFC:
Resposta
O Fator de Empacotamento Atômico (FEA) para ambas as estruturas CCC e CFC é aproximadamente 74%.