Defina o conceito de produto interno em R^n. Exiba dois vetores 7 -dimensionais sem componentes nulas cujo produto interno é 0 .

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para a gente definir o que é um produto interno em e também para mostrar dois vetores de 7 dimensões que não têm componentes nulas e cujo produto interno é igual a zero. Então, vamos precisar entender bem o que é produto interno e depois encontrar esses vetores específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o produto interno em u cdot v = u1v1 + u2v2 + dots + unvn . O produto interno, também conhecido como produto escalar, é uma operação que pega dois vetores e retorna um número (escalar). Para dois vetores e em , o produto interno é calculado assim:
Esse valor nos dá uma ideia de como os vetores estão “alinhados” entre si. Se o produto interno for zero, dizemos que os vetores são ortogonais, ou seja, estão em ângulos retos relativos um ao outro.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dois vetores de 7 dimensões sem componentes nulas cujo produto interno seja zero. Vamos construir esses vetores passo a passo.
Primeiro, vamos escolher o primeiro vetor u = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) com componentes não nulas. Por exemplo:
Todos os componentes de são 1, então nenhum deles é nulo.

Passo 4

Agora, vamos escolher o segundo vetor u cdot v = 1 cdot v1 + 1 cdot v2 + 1 cdot v3 + 1 cdot v4 + 1 cdot v5 + 1 cdot v6 + 1 cdot v7 = 0 de forma que o produto interno v = (1, 1, 1, 1, 1, 1, -6) seja zero. Sabemos que:
Então, queremos que a soma dos componentes de seja zero. Vamos escolher com componentes não nulas que satisfaçam essa condição. Um exemplo é:
Aqui, os primeiros seis componentes são 1 e o sétimo componente é -6. Nenhum componente é zero.

Passo 5

Vamos verificar se o produto interno realmente dá zero:
u cdot v = 1 cdot 1 + 1 cdot 1 + 1 cdot 1 + 1 cdot 1 + 1 cdot 1 + 1 cdot 1 + 1 cdot (-6) = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 - 6 = 0
Funcionou! O produto interno dos vetores e é zero, e nenhum deles tem componentes nulas.

Resposta

Dois vetores de 7 dimensões sem componentes nulas cujo produto interno é zero são:
u = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)
v = (1, 1, 1, 1, 1, 1, -6)

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