Defina o conceito de produto interno em
. Exiba dois vetores 7 -dimensionais sem componentes nulas cujo produto interno é 0 .
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para a gente definir o que é um produto interno em
e também para mostrar dois vetores de 7 dimensões que não têm componentes nulas e cujo produto interno é igual a zero. Então, vamos precisar entender bem o que é produto interno e depois encontrar esses vetores específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o produto interno em
. O produto interno, também conhecido como produto escalar, é uma operação que pega dois vetores e retorna um número (escalar). Para dois vetores
e
em
, o produto interno é calculado assim:
Esse valor nos dá uma ideia de como os vetores estão “alinhados” entre si. Se o produto interno for zero, dizemos que os vetores são ortogonais, ou seja, estão em ângulos retos relativos um ao outro.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar dois vetores de 7 dimensões sem componentes nulas cujo produto interno seja zero. Vamos construir esses vetores passo a passo.
Primeiro, vamos escolher o primeiro vetor
com componentes não nulas. Por exemplo:
Todos os componentes de
são 1, então nenhum deles é nulo.
Passo 4
Agora, vamos escolher o segundo vetor
de forma que o produto interno
seja zero. Sabemos que:
Então, queremos que a soma dos componentes de
seja zero. Vamos escolher
com componentes não nulas que satisfaçam essa condição. Um exemplo é:
Aqui, os primeiros seis componentes são 1 e o sétimo componente é -6. Nenhum componente é zero.
Passo 5
Vamos verificar se o produto interno realmente dá zero:
Funcionou! O produto interno dos vetores
e
é zero, e nenhum deles tem componentes nulas.
Resposta
Dois vetores de 7 dimensões sem componentes nulas cujo produto interno é zero são: