Sejam os vetores
e
em
. Faça o que se pede:
c) Para que valores de k o vetor
é combinação linear de
e
?
c) Para que valores de k o vetor
Passo 1
Beleza, vamos começar! A questão fala sobre vetores no espaço tridimensional, especificamente em
. Temos os vetores
,
e
. Queremos descobrir para quais valores de
o vetor
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores
e
. Isso significa que existe algum conjunto de números (escalars)
e
tal que:
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação da combinação linear explicitamente. Substituindo os vetores, temos:
Agora, vamos distribuir os escalares
e
:
Isso nos dá um sistema de três equações:
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações para encontrar
e
. Observemos que as duas primeiras equações são:
Perceba que a segunda equação é metade da primeira. Isso significa que essas duas equações são dependentes e essencialmente representam a mesma informação. Portanto, podemos escolher qualquer uma delas para encontrar uma relação entre
e
. Vamos usar a segunda:
Passo 4
Agora que expressamos
em termos de
, vamos substituir isso na terceira equação para encontrar
:
Substituindo
:
Passo 5
Então, chegamos à relação:
Isso significa que para qualquer valor de
, podemos encontrar um
correspondente que faz
ser uma combinação linear de
e
. Mas como queremos todos os valores de
possíveis, percebemos que
pode ser qualquer número real. Portanto,
também pode ser qualquer número real maior ou igual a 9 (dependendo do valor de
).
Resposta
O vetor
é combinação linear de
e
para qualquer valor de
que satisfaça
, ou seja, para todo
.