Sejam os vetores u=(2,1,3) e v=(4,2,7) em R^3. Faça o que se pede:
c) Para que valores de k o vetor w=(6,3, k) é combinação linear de u e v ?

Passo 1

Beleza, vamos começar! A questão fala sobre vetores no espaço tridimensional, especificamente em w = a cdot u + b cdot v . Temos os vetores , e . Queremos descobrir para quais valores de o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e . Isso significa que existe algum conjunto de números (escalars) e tal que:
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação da combinação linear explicitamente. Substituindo os vetores, temos:
(6, 3, k) = a cdot (2, 1, 3) + b cdot (4, 2, 7)
Agora, vamos distribuir os escalares (6, 3, k) = (2a + 4b, ; a + 2b, ; 3a + 7b) e :
Isso nos dá um sistema de três equações:

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações para encontrar a + 2b = 3 Rightarrow a = 3 - 2b e . Observemos que as duas primeiras equações são:
Perceba que a segunda equação é metade da primeira. Isso significa que essas duas equações são dependentes e essencialmente representam a mesma informação. Portanto, podemos escolher qualquer uma delas para encontrar uma relação entre e . Vamos usar a segunda:

Passo 4

Agora que expressamos 3a + 7b = k em termos de 3(3 - 2b) + 7b = k 9 - 6b + 7b = k 9 + b = k , vamos substituir isso na terceira equação para encontrar :
Substituindo :

Passo 5

Então, chegamos à relação:
k = 9 + b
Isso significa que para qualquer valor de , podemos encontrar um correspondente que faz ser uma combinação linear de e . Mas como queremos todos os valores de possíveis, percebemos que pode ser qualquer número real. Portanto, também pode ser qualquer número real maior ou igual a 9 (dependendo do valor de ).

Resposta

O vetor é combinação linear de e para qualquer valor de que satisfaça , ou seja, para todo .

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