Julgue cada ítem abaixo como verdadeiro ou falso, justificando com um argumento lógico ou com um contra-exemplo. Respostas sem justificativas não serão consideradas.
(b) (10 pontos)( ) Se os vetores e são linearmente independentes.
Passo 1
Então, a gente tem uma questão de Álgebra Linear aqui. A gente precisa verificar se os vetores , e (porque ) são linearmente independentes. Pra resolver isso, a gente vai usar um método que envolve montar e resolver um sistema de equações com esses vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa os vetores serem linearmente independentes. Isso quer dizer que a única combinação linear que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Em termos matemáticos, queremos ver se a equação
só tem a solução .
Passo 3
Vamos substituir os vetores na equação:
Isso resulta em um sistema de três equações:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vou usar a eliminação. Da primeira equação, podemos isolar a1 = a2 - 2a3 :
Passo 5
Substituindo (a2 - 2a3) + 2a2 - a3 = 0 na segunda equação:
3a2 - 3a3 = 0
Simplificando:
a2 - a3 = 0
Dividindo por 3:
Então,
Passo 6
Agora, substituímos 2(a3) + 3(a3) + a3 = 0 e 6a3 = 0 na terceira equação:
Simplificando:
Então,
Passo 7
Com , temos e, consequentemente, . Portanto, a única solução é .
Resposta
Verdadeiro. Quando , os vetores , e são linearmente independentes.