Julgue cada ítem abaixo como verdadeiro ou falso, justificando com um argumento lógico ou com um contra-exemplo. Respostas sem justificativas não serão consideradas.
(b) (10 pontos)( ) Se k=2 os vetores u=(1,1,2), v=(-1,2,3) e w=(k,-1,1) são linearmente independentes.

Passo 1

Então, a gente tem uma questão de Álgebra Linear aqui. A gente precisa verificar se os vetores , e (porque ) são linearmente independentes. Pra resolver isso, a gente vai usar um método que envolve montar e resolver um sistema de equações com esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa os vetores serem linearmente independentes. Isso quer dizer que a única combinação linear que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Em termos matemáticos, queremos ver se a equação
a1 u + a2 v + a3 w = 0
só tem a solução .

Passo 3

Vamos substituir os vetores na equação:
a1 (1,1,2) + a2 (-1,2,3) + a3 (2,-1,1) = (0,0,0)
Isso resulta em um sistema de três equações:
a1 - a2 + 2a3 = 0 a1 + 2a2 - a3 = 0 2a1 + 3a2 + a3 = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vou usar a eliminação. Da primeira equação, podemos isolar a1 = a2 - 2a3 :

Passo 5

Substituindo (a2 - 2a3) + 2a2 - a3 = 0 na segunda equação:
3a2 - 3a3 = 0
Simplificando:
a2 - a3 = 0
Dividindo por 3:
Então,

Passo 6

Agora, substituímos 2(a3) + 3(a3) + a3 = 0 e 6a3 = 0 na terceira equação:
Simplificando:
Então,

Passo 7

Com , temos e, consequentemente, . Portanto, a única solução é .

Resposta

Verdadeiro. Quando , os vetores , e são linearmente independentes.

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