Define-se a convolução de duas funções f e g por
f * g=integral0^t f(t) g(t-tau) d tau
Também sabendo que
mathscrLf * g=mathscrLf(t) mathscrLg(t)=F(s) G(s),
e a forma inversa do Teorema de Convolução
mathscrL^-1F(s) G(s)=f * g
Resolva:
6.2. mathscrL1 * e^-2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre convolução e transformada de Laplace. A gente precisa achar a transformada de Laplace da convolução das funções e . Pra isso, vamos usar a definição de convolução e as propriedades das transformadas de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a convolução. A convolução de f * g = integral0^t f(tau) g(t - tau) dtau e é dada por:
No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, vamos usar a propriedade das transformadas de Laplace que diz que a transformada da convolução de duas funções é igual ao produto das transformadas de cada função:
mathscrLf * g = mathscrLf(t) cdot mathscrLg(t)
Então, vamos calcular as transformadas de Laplace de e separadamente.

Passo 4

A transformada de Laplace de mathscrL1 = 1s é:
mathscrLe^-2 t = 1s + 2
E a transformada de Laplace de é:

Passo 5

Agora, multiplicamos essas duas transformadas para encontrar a transformada da convolução:
mathscrL1 * e^-2 t = 1s cdot 1s + 2 = 1s(s + 2)

Resposta

A transformada de Laplace da convolução de mathscrL1 * e^-2 t = 1s(s + 2) e é:

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Define-se a convolução de duas funções f e g por
f * g=integral0^t f(t) g(t-tau) d tau
Também sabendo que
mathscrLf * g=mathscrLf(t) mathscrLg(t)=F(s) G(s),
e a forma inversa do Teorema de Convolução
mathscrL^-1F(s) G(s)=f * g
Resolva:
6.12. mathscrL^-11(s^2+4 s+5)^2
Resolva as equações:
2 cos(x - pi) = 1
Reduza ao quadrante:
sen 145 graus
Reduza ao quadrante:
cos(325 graus)