Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem que achar a inversa da transformada de Laplace de . Isso envolve conceitos de transformada de Laplace e convolução. Pra resolver, vamos precisar completar o quadrado no denominador, usar propriedades da transformada de Laplace e aplicar o teorema da convolução.
Passo 2
Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador . Isso ajuda a simplificar a expressão para facilitar a inversa.
Agora, nossa expressão fica:
Passo 3
Sabemos que a transformada de Laplace de é:
Comparando com o que temos, identificamos e . Então, a inversa de é:
Passo 4
Agora, queremos achar a inversa de . Observa que isso é igual a , ou seja, a multiplicação de duas funções .
Pelo teorema da convolução, a inversa da multiplicação de duas transformadas é a convolução das inversas. Então:
Passo 5
Vamos calcular a convolução . A convolução de duas funções e é dada por:
No nosso caso, , então:
Simplificando a expressão:
Passo 6
Vamos resolver a integral . Usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Resolvendo cada parte separadamente:
Então:
Passo 7
Voltando à convolução:
f(t) * f(t) = e^-2t ( sin(t)4 - t cos(t)2 )
Simplificando:
f(t) * f(t) = e^-2t sin(t)4 - e^-2t t cos(t)2
Resposta
A inversa da transformada de Laplace é:
mathscrL^-11(s^2+4 s+5)^2 = e^-2t sin(t)4 - e^-2t t cos(t)2