Define-se a convolução de duas funções f e g por
f * g=integral0^t f(t) g(t-tau) d tau
Também sabendo que
mathscrLf * g=mathscrLf(t) mathscrLg(t)=F(s) G(s),
e a forma inversa do Teorema de Convolução
mathscrL^-1F(s) G(s)=f * g
Resolva:
6.12. mathscrL^-11(s^2+4 s+5)^2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem que achar a inversa da transformada de Laplace de . Isso envolve conceitos de transformada de Laplace e convolução. Pra resolver, vamos precisar completar o quadrado no denominador, usar propriedades da transformada de Laplace e aplicar o teorema da convolução.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador s^2 + 4s + 5 = (s + 2)^2 + 1 . Isso ajuda a simplificar a expressão para facilitar a inversa.
1(s^2 + 4s + 5)^2 = 1((s + 2)^2 + 1)^2
Agora, nossa expressão fica:

Passo 3

Sabemos que a transformada de Laplace de mathscrLe^-at sin(bt) = b(s + a)^2 + b^2 é:
f(t) = e^-2t sin(t)
Comparando com o que temos, identificamos e . Então, a inversa de é:

Passo 4

Agora, queremos achar a inversa de mathscrL^-1 1((s + 2)^2 + 1)^2 = f(t) * f(t) . Observa que isso é igual a , ou seja, a multiplicação de duas funções .
Pelo teorema da convolução, a inversa da multiplicação de duas transformadas é a convolução das inversas. Então:

Passo 5

Vamos calcular a convolução (f * g)(t) = integral0^t f(tau) g(t - tau) dtau . A convolução de duas funções f(t) * f(t) = integral0^t e^-2tau sin(tau) cdot e^-2(t - tau) sin(t - tau) dtau e f(t) * f(t) = e^-2t integral0^t sin(tau) sin(t - tau) dtau é dada por:
No nosso caso, , então:
Simplificando a expressão:

Passo 6

Vamos resolver a integral sin(A)sin(B) = 12 [cos(A - B) - cos(A + B)] . Usamos a identidade trigonométrica:
integral0^t sin(tau) sin(t - tau) dtau = 12 integral0^t [cos(2tau - t) - cos(t)] dtau
Aplicando isso:
12 [ sin(2tau - t)2 |0^t - cos(t) t ] = 14 [sin(t) - 0] - 12 t cos(t)
Resolvendo cada parte separadamente:
integral0^t sin(tau) sin(t - tau) dtau = sin(t)4 - t cos(t)2
Então:

Passo 7

Voltando à convolução:
f(t) * f(t) = e^-2t ( sin(t)4 - t cos(t)2 )
Simplificando:
f(t) * f(t) = e^-2t sin(t)4 - e^-2t t cos(t)2

Resposta

A inversa da transformada de Laplace é:
mathscrL^-11(s^2+4 s+5)^2 = e^-2t sin(t)4 - e^-2t t cos(t)2

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Resolva as equações:
2 cos(x - pi) = 1
Construa os seguintes gráficos, dê o período e imagem.
y = -cos(x)
Define-se a convolução de duas funções f e g por
f * g=integral0^t f(t) g(t-tau) d tau
Também sabendo que
mathscrLf * g=mathscrLf(t) mathscrLg(t)=F(s) G(s),
e a forma inversa do Teorema de Convolução
mathscrL^-1F(s) G(s)=f * g
Resolva:
6.2. mathscrL1 * e^-2 t
Reduza ao quadrante:
sen 145 graus