dê uma definição recursiva para P(n)=a^n, onde a in R^* e n in Z^*.

Passo 1

Beleza! Então, o que a gente tem aqui é um exercício que pede para definir de forma recursiva a função . A matéria que vamos usar é recursão, que é uma maneira de definir uma função onde o valor dela depende de valores anteriores. Para resolver isso, a gente vai precisar identificar um caso de base (o ponto de partida) e uma regra que nos permita chegar a a partir de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma definição recursiva. Basicamente, é uma forma de definir uma função em termos dela mesma. Para isso, precisamos de dois elementos:
  1. Caso base: é o ponto onde a recursão para. Geralmente, é o menor valor de para o qual a função é definida.
  2. Regra de recorrência: é a fórmula que relaciona com .

Passo 3

Vamos começar definindo o caso base. Como estamos trabalhando com potências, o menor valor inteiro positivo que faz sentido é P(1) = a^1 = a .
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos definir a regra de recorrência. Queremos expressar a^n = a times a^n-1 em termos de P(n) = a times P(n-1) .
Sabemos que:
Então, podemos escrever:

Resposta

A definição recursiva para P(1) = a P(n) = a times P(n-1) & para n > 1 é:

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