Deixando cair areia a uma taxa de
, forma-se um cone cujo diâmetro da base é sempre igual à sua altura. Determine a velocidade com que o diâmetro aumenta quando a altura do cone é de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre areia sendo derramada a uma taxa de
, formando um cone onde o diâmetro da base é sempre igual à altura. Precisamos descobrir quão rápido o diâmetro está aumentando quando a altura do cone é de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de volume de cones e cálculo de derivadas relacionadas a taxas de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de um cone. O volume
de um cone é dado por:
onde
é o raio da base e
é a altura do cone.
Passo 3
A questão nos diz que o diâmetro
da base é sempre igual à altura
do cone. Como o diâmetro é o dobro do raio (
), podemos relacionar o raio com a altura:
Passo 4
Vamos substituir o valor de
na fórmula do volume:
Então, a fórmula do volume em função da altura é:
Passo 5
Agora, queremos relacionar a taxa de variação do volume (
) com a taxa de variação da altura (
). Para isso, vamos diferenciar a fórmula do volume em relação ao tempo:
Passo 6
Queremos encontrar
, então vamos isolar essa derivada na equação:
Como
, então
. Portanto, a taxa de variação do diâmetro é igual à taxa de variação da altura.
Passo 7
Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação. Sabemos que
e
:
Passo 8
Vamos simplificar os cálculos:
Resposta
Quando a altura do cone é de
, o diâmetro está aumentando a uma taxa de
, aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Considere a função
, dada por
(e) Esboce o gráfico de
.
Considere a função
, dada por
(d) Analise a concavidade do gráfico de
.