Deixando cair areia a uma taxa de , forma-se um cone cujo diâmetro da base é sempre igual à sua altura. Determine a velocidade com que o diâmetro aumenta quando a altura do cone é de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre areia sendo derramada a uma taxa de , formando um cone onde o diâmetro da base é sempre igual à altura. Precisamos descobrir quão rápido o diâmetro está aumentando quando a altura do cone é de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de volume de cones e cálculo de derivadas relacionadas a taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de um cone. O volume de um cone é dado por:
onde é o raio da base e é a altura do cone.

Passo 3

A questão nos diz que o diâmetro da base é sempre igual à altura do cone. Como o diâmetro é o dobro do raio ( ), podemos relacionar o raio com a altura:

Passo 4

Vamos substituir o valor de na fórmula do volume:
Então, a fórmula do volume em função da altura é:

Passo 5

Agora, queremos relacionar a taxa de variação do volume ( ) com a taxa de variação da altura ( ). Para isso, vamos diferenciar a fórmula do volume em relação ao tempo:

Passo 6

Queremos encontrar , então vamos isolar essa derivada na equação:
Como , então . Portanto, a taxa de variação do diâmetro é igual à taxa de variação da altura.

Passo 7

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação. Sabemos que e :

Passo 8

Vamos simplificar os cálculos:

Resposta

Quando a altura do cone é de , o diâmetro está aumentando a uma taxa de , aproximadamente .

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Considere a função , dada por (e) Esboce o gráfico de .
Considere a função , dada por (d) Analise a concavidade do gráfico de .