Considere a função , dada por (e) Esboce o gráfico de .

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente desenhar o gráfico da função . Vamos precisar entender alguns conceitos de funções racionais, como encontrar assíntotas, interceptos e analisar o comportamento da função. Isso vai ajudar a fazer um esboço bem legal do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde a função não está definida. Olhando o denominador, , ele não pode ser zero porque não dá para dividir por zero. Então, é um ponto que a função não existe. Isso significa que temos uma assíntota vertical em .

Passo 3

Agora, vamos ver como a função se comporta quando fica muito grande ou muito pequeno, ou seja, quando tende ao infinito ou menos infinito. A função tem o grau do numerador (2) maior que o do denominador (1), então ela vai ter uma assíntota oblíqua. Para encontrar essa assíntota, vamos dividir por .

Passo 4

Fazendo a divisão polinomial de por :
A parte é a equação da assíntota oblíqua, então temos .

Passo 5

Vamos encontrar os interceptos da função.
  • Intercepto com o eixo y: quando .
Então, o intercepto com o eixo y é o ponto .
  • Intercepto com o eixo x: quando .
O único intercepto com o eixo x também é .

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da função em torno da assíntota vertical :
  • Para , por exemplo, :
  • Para , por exemplo, :
Isso mostra que a função tende a quando se aproxima de 2 pela esquerda e a pela direita.

Passo 7

Com todas essas informações:
  • Assíntota vertical em .
  • Assíntota oblíqua em .
  • Intercepto no ponto .
  • Comportamento da função definido nos intervalos.
Agora podemos esboçar o gráfico, desenhando a assíntota vertical, a oblíqua, marcando o intercepto e mostrando como a função se aproxima dessas linhas.

Resposta

O gráfico da função possui uma assíntota vertical em , uma assíntota oblíqua em , e passa pelo ponto . Com base nisso, o esboço mostra a curva se aproximando dessas assíntotas e passando pela origem, refletindo o comportamento definido nos diferentes intervalos de .

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