Considere a função
, dada por
(e) Esboce o gráfico de
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente desenhar o gráfico da função
. Vamos precisar entender alguns conceitos de funções racionais, como encontrar assíntotas, interceptos e analisar o comportamento da função. Isso vai ajudar a fazer um esboço bem legal do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde a função não está definida. Olhando o denominador,
, ele não pode ser zero porque não dá para dividir por zero. Então,
é um ponto que a função não existe. Isso significa que temos uma assíntota vertical em
.
Passo 3
Agora, vamos ver como a função se comporta quando
fica muito grande ou muito pequeno, ou seja, quando
tende ao infinito ou menos infinito. A função
tem o grau do numerador (2) maior que o do denominador (1), então ela vai ter uma assíntota oblíqua. Para encontrar essa assíntota, vamos dividir
por
.
Passo 4
Fazendo a divisão polinomial de
por
:
A parte
é a equação da assíntota oblíqua, então temos
.
Passo 5
Vamos encontrar os interceptos da função.
- Intercepto com o eixo y: quando
.
Então, o intercepto com o eixo y é o ponto
.
- Intercepto com o eixo x: quando
.
O único intercepto com o eixo x também é
.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função em torno da assíntota vertical
:
- Para
, por exemplo, :
- Para
, por exemplo, :
Isso mostra que a função tende a
quando se aproxima de 2 pela esquerda e a
pela direita.
Passo 7
Com todas essas informações:
- Assíntota vertical em
. - Assíntota oblíqua em
. - Intercepto no ponto
. - Comportamento da função definido nos intervalos.
Agora podemos esboçar o gráfico, desenhando a assíntota vertical, a oblíqua, marcando o intercepto e mostrando como a função se aproxima dessas linhas.
Resposta
O gráfico da função
possui uma assíntota vertical em
, uma assíntota oblíqua em
, e passa pelo ponto
. Com base nisso, o esboço mostra a curva se aproximando dessas assíntotas e passando pela origem, refletindo o comportamento definido nos diferentes intervalos de
.
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.
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, forma-se um cone cujo diâmetro da base é sempre igual à sua altura. Determine a velocidade com que o diâmetro aumenta quando a altura do cone é de
.