Considere a função
, dada por
(d) Analise a concavidade do gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a função
e precisamos analisar a concavidade do seu gráfico. Concavidade está relacionada a como a curva está “curvada”, se para cima ou para baixo. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas, especificamente a segunda derivada da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, a inclinação da tangente em cada ponto.
A função é
. Para derivar uma fração como essa, usamos a regra do quociente, que é dada por:
Onde
e
.
Calculando as derivadas:
Aplicando na regra do quociente:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
, que nos ajuda a determinar a concavidade da função. A segunda derivada indica a taxa de variação da primeira derivada.
Temos:
Vamos aplicar novamente a regra do quociente para derivar
:
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas:
Aplicando na regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Expandindo:
Simplificando tudo isso, obtemos:
Passo 4
Para analisar a concavidade, observamos o sinal da segunda derivada
:
- Se
: A função é côncava para cima nesse intervalo. - Se
: A função é côncava para baixo nesse intervalo.
Vamos encontrar quando
ou é indefinida:
- Numerador zero:
- Denominador zero:
Nesse ponto, a segunda derivada é indefinida.
Agora, vamos analisar os intervalos determinados por
e
:
-
Para
: - Numerador:
- Denominador:
- Sinal de
: → Côncava para cima
- Numerador:
-
Para
: - Numerador:
- Denominador:
- Sinal de
: → Côncava para baixo
- Numerador:
-
Para
: - Numerador:
- Denominador:
- Sinal de
: → Côncava para cima
- Numerador:
Resposta
O gráfico da função
é côncavo para cima nos intervalos
e
, e é côncavo para baixo no intervalo
.
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.
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.
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.