Considere a função , dada por (d) Analise a concavidade do gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a função e precisamos analisar a concavidade do seu gráfico. Concavidade está relacionada a como a curva está “curvada”, se para cima ou para baixo. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas, especificamente a segunda derivada da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, a inclinação da tangente em cada ponto.
A função é . Para derivar uma fração como essa, usamos a regra do quociente, que é dada por:
Onde e .
Calculando as derivadas:
Aplicando na regra do quociente:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada , que nos ajuda a determinar a concavidade da função. A segunda derivada indica a taxa de variação da primeira derivada.
Temos:
Vamos aplicar novamente a regra do quociente para derivar :
Aqui, e .
Calculando as derivadas:
Aplicando na regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Expandindo:
Simplificando tudo isso, obtemos:

Passo 4

Para analisar a concavidade, observamos o sinal da segunda derivada :
  • Se : A função é côncava para cima nesse intervalo.
  • Se : A função é côncava para baixo nesse intervalo.
Vamos encontrar quando ou é indefinida:
  1. Numerador zero:
  1. Denominador zero:
Nesse ponto, a segunda derivada é indefinida.
Agora, vamos analisar os intervalos determinados por e :
  • Para :
    • Numerador:
    • Denominador:
    • Sinal de : → Côncava para cima
  • Para :
    • Numerador:
    • Denominador:
    • Sinal de : → Côncava para baixo
  • Para :
    • Numerador:
    • Denominador:
    • Sinal de : → Côncava para cima

Resposta

O gráfico da função é côncavo para cima nos intervalos e , e é côncavo para baixo no intervalo .

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