Delegados de 10 países devem sentar em 10 cadeiras em fila. De quantos modos isso pode ser feito se os delegados do Brasil e de Portugal devem sentar juntos e o do Iraque e o do Estados Unidos não podem sentar juntos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de permutação onde 10 delegados precisam se sentar em 10 cadeiras em fila. A gente precisa considerar duas condições: os delegados do Brasil e de Portugal têm que ficar juntinhos, e os do Iraque e dos Estados Unidos não podem sentar um ao lado do outro. Vamos usar conceitos de permutação com restrições para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos tratar os delegados do Brasil e de Portugal como se fossem uma única “unidade”. Assim, ao invés de 10 pessoas, a gente passa a ter 9 “unidades” (a dupla Brasil-Portugal mais os outros 8 delegados). O número de maneiras de organizar essas 9 unidades é .

Passo 3

Mas, dentro dessa “unidade” Brasil-Portugal, eles podem trocar de lugar entre si. Então, para cada uma das maneiras, temos 2 arranjos internos (Brasil primeiro ou Portugal primeiro). Multiplicamos então por 2: .

Passo 4

Agora, vamos considerar a restrição de que os delegados do Iraque e dos Estados Unidos não podem ficar juntos. Primeiro, vamos calcular quantas formas existem onde eles estão juntos, e depois subtrair isso do total.

Passo 5

Se o Iraque e os Estados Unidos também forem tratados como uma única “unidade”, teríamos agora 8 “unidades” (a dupla Brasil-Portugal, a dupla Iraque-Estados Unidos e os outros 6 delegados). Essas 8 unidades podem ser arranjadas de maneiras.

Passo 6

Dentro da “unidade” Iraque-Estados Unidos, eles podem trocar de lugar de 2 maneiras. Além disso, já tínhamos a dupla Brasil-Portugal que também tem 2 arranjos internos. Então, o total de arranjos onde ambos os pares estão juntos é .

Passo 7

Agora, para encontrar as arrumações onde Brasil e Portugal estão juntos e Iraque e Estados Unidos não estão juntos, subtraímos as arrumações indesejadas do total inicial:
(9! times 2) - (8! times 2 times 2)

Passo 8

Vamos calcular:
9! = 362880
8! = 40320
Então:
362880 times 2 = 725760
40320 times 2 times 2 = 161280
Agora, subtraindo:
725760 - 161280 = 564480

Resposta

O número de modos possíveis é 564.480.

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