Demonstrar que a tensão normal ( ) agindo no plano onde age a tensão máxima de cisalhamento ( ), na tração pura, é positiva e dada por .

Passo 1

Vamos lá! Você quer demonstrar que, na tração pura, a tensão normal ( ) no plano onde ocorre a tensão máxima de cisalhamento ( ) é positiva e igual a , onde é a tensão principal maior. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de tensões principais e transformação de tensões. Precisaremos das fórmulas de transformação de tensões e entender o que são tensões principais e de cisalhamento.

Passo 2

Primeiro, na tração pura, só temos uma tensão principal atuando, que é . Não há outras tensões principais, então . As tensões principais são aquelas que atuam em direções onde a tensão de cisalhamento é zero.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula para a tensão normal ( ) em um plano inclinado em um ângulo em relação à direção da tensão principal:
E para a tensão de cisalhamento ( ) no mesmo plano:

Passo 4

Como (apenas tração pura), as fórmulas ficam:

Passo 5

Para encontrar a tensão máxima de cisalhamento ( ), derivamos a expressão da tensão de cisalhamento e encontramos o ângulo onde é máximo. Sabemos que atinge seu valor máximo quando , ou seja, .

Passo 6

Então, no ângulo , temos:

Passo 7

Agora, vamos calcular a tensão normal ( ) no mesmo plano onde ocorre a tensão máxima de cisalhamento, ou seja, em :

Resposta

Portanto, demonstramos que na tração pura, a tensão normal no plano onde ocorre a tensão máxima de cisalhamento é positiva e dada por .

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