Demonstrar que a tensão normal (
) agindo no plano onde age a tensão máxima de cisalhamento (
), na tração pura, é positiva e dada por
.
Passo 1
Vamos lá! Você quer demonstrar que, na tração pura, a tensão normal (
) no plano onde ocorre a tensão máxima de cisalhamento (
) é positiva e igual a
, onde
é a tensão principal maior. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de tensões principais e transformação de tensões. Precisaremos das fórmulas de transformação de tensões e entender o que são tensões principais e de cisalhamento.
Passo 2
Primeiro, na tração pura, só temos uma tensão principal atuando, que é
. Não há outras tensões principais, então
. As tensões principais são aquelas que atuam em direções onde a tensão de cisalhamento é zero.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da fórmula para a tensão normal (
) em um plano inclinado em um ângulo
em relação à direção da tensão principal:
E para a tensão de cisalhamento (
) no mesmo plano:
Passo 4
Como
(apenas tração pura), as fórmulas ficam:
Passo 5
Para encontrar a tensão máxima de cisalhamento (
), derivamos a expressão da tensão de cisalhamento e encontramos o ângulo
onde
é máximo. Sabemos que
atinge seu valor máximo quando
, ou seja,
.
Passo 6
Então, no ângulo
, temos:
Passo 7
Agora, vamos calcular a tensão normal (
) no mesmo plano onde ocorre a tensão máxima de cisalhamento, ou seja, em
:
Resposta
Portanto, demonstramos que na tração pura, a tensão normal no plano onde ocorre a tensão máxima de cisalhamento é positiva e dada por
.
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e
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