O estado plano de deformações em um ponto é representado pelos componentes epsilonx=250(10^-6), epsilony=- 150(10^-6) e gammax y=120(10^-6). Determinar as deformações principais e a orientação do elemento.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos um estado plano de deformações com os seguintes componentes: epsilonx = 250 times 10^-6, epsilony = -150 times 10^-6 e gammaxy = 120 times 10^-6. Nosso objetivo é determinar as deformações principais e a orientação do elemento. Para isso, vamos utilizar conceitos de mecânica dos materiais relacionados às deformações principais e como calculá-las a partir dos componentes dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as deformações principais são as deformações máximas e mínimas que ocorrem em direções específicas, chamadas de direções principais. Essas deformações não sofrem nenhuma deformação de corte, ou seja, gamma = 0 nessas direções. Para encontrar essas deformações, precisamos calcular os valores próprios (autovalores) da matriz de deformação.

Passo 3

Vamos montar a matriz de deformação usando os componentes fornecidos:
epsilon = epsilonx & dfracgammaxy2 dfracgammaxy2 & epsilony = 250 times 10^-6 & 60 times 10^-6 60 times 10^-6 & -150 times 10^-6
Aqui, dividimos gammaxy por 2 porque em deformações puras, a deformação de corte é distribuída igualmente entre as direções.

Passo 4

Para encontrar as deformações principais ( epsilon1 e epsilon2), usamos a seguinte fórmula derivada da equação característica da matriz de deformação:
epsilon1,2 = dfracepsilonx + epsilony2 pm raiz(dfracepsilonx - epsilony2)^2 + (dfracgammaxy2)^2
Essa fórmula nos dá os valores máximos e mínimos das deformações principais.

Passo 5

Vamos agora substituir os valores fornecidos na fórmula:
epsilon1,2 = dfrac250 times 10^-6 + (-150) times 10^-62 pm raiz(dfrac250 times 10^-6 - (-150) times 10^-62)^2 + (dfrac120 times 10^-62)^2
Simplificando os termos:
epsilon1,2 = dfrac100 times 10^-62 pm raiz(dfrac400 times 10^-62)^2 + (60 times 10^-6)^2
epsilon1,2 = 50 times 10^-6 pm raiz(200 times 10^-6)^2 + (60 times 10^-6)^2

Passo 6

Calculando dentro da raiz:
(200 times 10^-6)^2 = 40,000 times 10^-12
(60 times 10^-6)^2 = 3,600 times 10^-12
Somando:
40,000 times 10^-12 + 3,600 times 10^-12 = 43,600 times 10^-12
Extraindo a raiz quadrada:
raiz43,600 times 10^-12 approx 208.6 times 10^-6

Passo 7

Agora, substituímos de volta na equação das deformações principais:
epsilon1 = 50 times 10^-6 + 208.6 times 10^-6 = 258.6 times 10^-6
epsilon2 = 50 times 10^-6 - 208.6 times 10^-6 = -158.6 times 10^-6
Arredondando para três casas decimais:
epsilon1 approx 258.6 times 10^-6
epsilon2 approx -158.6 times 10^-6

Passo 8

Agora, vamos determinar a orientação do elemento, ou seja, o ângulo theta que indica a rotação necessária para alinhar as direções principais com os eixos coordenados. A fórmula para calcular theta é:
tan(2theta) = dfracgammaxyepsilonx - epsilony
Substituindo os valores:
tan(2theta) = dfrac120 times 10^-6250 times 10^-6 - (-150) times 10^-6 = dfrac120 times 10^-6400 times 10^-6 = 0.3
Calculando o arco-tangente:
2theta = arctan(0.3) approx 16.7^circ
Dividindo por 2 para encontrar theta:
theta approx dfrac16.7^circ2 = 8.35^circ

Resposta

As deformações principais são aproximadamente epsilon1 = 258.6 times 10^-6 e epsilon2 = -158.6 times 10^-6. A orientação do elemento está inclinada em aproximadamente 8.35^circ em relação ao eixo x.

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