O estado plano de deformações em um ponto é representado pelos componentes e . Determinar as deformações principais e a orientação do elemento.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos um estado plano de deformações com os seguintes componentes: , e . Nosso objetivo é determinar as deformações principais e a orientação do elemento. Para isso, vamos utilizar conceitos de mecânica dos materiais relacionados às deformações principais e como calculá-las a partir dos componentes dados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as deformações principais são as deformações máximas e mínimas que ocorrem em direções específicas, chamadas de direções principais. Essas deformações não sofrem nenhuma deformação de corte, ou seja, nessas direções. Para encontrar essas deformações, precisamos calcular os valores próprios (autovalores) da matriz de deformação.
Passo 3
Vamos montar a matriz de deformação usando os componentes fornecidos:
Aqui, dividimos gammaxy por 2 porque em deformações puras, a deformação de corte é distribuída igualmente entre as direções.
Passo 4
Para encontrar as deformações principais (epsilon1 e epsilon2), usamos a seguinte fórmula derivada da equação característica da matriz de deformação:
Essa fórmula nos dá os valores máximos e mínimos das deformações principais.
Passo 5
Vamos agora substituir os valores fornecidos na fórmula:
epsilon1,2 = dfrac250 times 10^-6 + (-150) times 10^-62 pm raiz(dfrac250 times 10^-6 - (-150) times 10^-62)^2 + (dfrac120 times 10^-62)^2
Simplificando os termos:
epsilon1,2 = dfrac100 times 10^-62 pm raiz(dfrac400 times 10^-62)^2 + (60 times 10^-6)^2
epsilon1,2 = 50 times 10^-6 pm raiz(200 times 10^-6)^2 + (60 times 10^-6)^2
Passo 6
Calculando dentro da raiz:
(200 times 10^-6)^2 = 40,000 times 10^-12
(60 times 10^-6)^2 = 3,600 times 10^-12
Somando:
40,000 times 10^-12 + 3,600 times 10^-12 = 43,600 times 10^-12
Extraindo a raiz quadrada:
raiz43,600 times 10^-12 approx 208.6 times 10^-6
Passo 7
Agora, substituímos de volta na equação das deformações principais:
epsilon1 = 50 times 10^-6 + 208.6 times 10^-6 = 258.6 times 10^-6
epsilon2 = 50 times 10^-6 - 208.6 times 10^-6 = -158.6 times 10^-6
Arredondando para três casas decimais:
epsilon1 approx 258.6 times 10^-6
epsilon2 approx -158.6 times 10^-6
Passo 8
Agora, vamos determinar a orientação do elemento, ou seja, o ângulo theta que indica a rotação necessária para alinhar as direções principais com os eixos coordenados. A fórmula para calcular theta é:
tan(2theta) = dfracgammaxyepsilonx - epsilony
Substituindo os valores:
tan(2theta) = dfrac120 times 10^-6250 times 10^-6 - (-150) times 10^-6 = dfrac120 times 10^-6400 times 10^-6 = 0.3
Calculando o arco-tangente:
2theta = arctan(0.3) approx 16.7^circ
Dividindo por 2 para encontrar theta:
theta approx dfrac16.7^circ2 = 8.35^circ
Resposta
As deformações principais são aproximadamente epsilon1 = 258.6 times 10^-6 e epsilon2 = -158.6 times 10^-6. A orientação do elemento está inclinada em aproximadamente 8.35^circ em relação ao eixo x.