O estado plano de deformações em um ponto é representado pelos componentes e . Determinar as deformações principais e a orientação do elemento.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos um estado plano de deformações com os seguintes componentes: , e . Nosso objetivo é determinar as deformações principais e a orientação do elemento. Para isso, vamos utilizar conceitos de mecânica dos materiais relacionados às deformações principais e como calculá-las a partir dos componentes dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as deformações principais são as deformações máximas e mínimas que ocorrem em direções específicas, chamadas de direções principais. Essas deformações não sofrem nenhuma deformação de corte, ou seja, nessas direções. Para encontrar essas deformações, precisamos calcular os valores próprios (autovalores) da matriz de deformação.

Passo 3

Vamos montar a matriz de deformação usando os componentes fornecidos:
Aqui, dividimos por 2 porque em deformações puras, a deformação de corte é distribuída igualmente entre as direções.

Passo 4

Para encontrar as deformações principais ( e ), usamos a seguinte fórmula derivada da equação característica da matriz de deformação:
Essa fórmula nos dá os valores máximos e mínimos das deformações principais.

Passo 5

Vamos agora substituir os valores fornecidos na fórmula:
Simplificando os termos:

Passo 6

Calculando dentro da raiz:
Somando:
Extraindo a raiz quadrada:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na equação das deformações principais:
Arredondando para três casas decimais:

Passo 8

Agora, vamos determinar a orientação do elemento, ou seja, o ângulo que indica a rotação necessária para alinhar as direções principais com os eixos coordenados. A fórmula para calcular é:
Substituindo os valores:
Calculando o arco-tangente:
Dividindo por 2 para encontrar :

Resposta

As deformações principais são aproximadamente e . A orientação do elemento está inclinada em aproximadamente em relação ao eixo x.

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