Demonstre que:
b)
e
e
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que demonstrar que, se os conjuntos $ A $ e $ C $ não são vazios, $ A $ é diferente de $ C $, $ A $ está contido em $ B $ e $ C $ está contido em $ D $, então o produto cartesiano $ A \times C $ está contido em $ B \times D $, e vice-versa. Isso envolve entender teoria dos conjuntos e produtos cartesianos. Vamos precisar lembrar o que significa um conjunto estar contido em outro e como funciona o produto cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que significa $ A \subset B $. Isso quer dizer que todo elemento de $ A $ está também em $ B $. Ou seja, se $ x $ está em $ A $, então $ x $ também está em $ B $.
Passo 3
Agora, o mesmo vale para $ C \subset D $. Todo elemento de $ C $ está presente em $ D $. Então, se $ y $ está em $ C $, $ y $ também está em $ D $.
Passo 4
Vamos lembrar o que é o produto cartesiano $ A \times C $. Ele é o conjunto de todos os pares ordenados $ (x, y) $ onde $ x $ está em $ A $ e $ y $ está em $ C $. Similarmente, $ B \times D $ é o conjunto de todos os pares $ (x, y) $ com $ x $ em $ B $ e $ y $ em $ D $.
Passo 5
Queremos mostrar que $ A \times C \subset B \times D $. Para isso, vamos pegar um par qualquer $ (x, y) $ em $ A \times C $ e mostrar que ele também está em $ B \times D $.
Passo 6
Como $ (x, y) $ está em $ A \times C $, sabemos que $ x $ está em $ A $ e $ y $ está em $ C $.
Passo 7
Já que $ A \subset B $, $ x $ também está em $ B $.
Passo 8
E como $ C \subset D $, $ y $ está em $ D $.
Passo 9
Então, $ (x, y) $ está em $ B \times D $, porque $ x $ está em $ B $ e $ y $ está em $ D $.
Passo 10
Como escolhemos um par arbitrário $ (x, y) $ em $ A \times C $ e mostramos que ele está em $ B \times D $, concluímos que $ A \times C \subset B \times D $.
Passo 11
Agora, para a outra direção, vamos supor que $ A \times C \subset B \times D $. Queremos mostrar que $ A \subset B $ e $ C \subset D $.
Passo 12
Escolha um elemento $ x $ qualquer em $ A $. Como $ C $ não está vazio, existe pelo menos um $ y $ em $ C $.
Passo 13
Então, $ (x, y) $ está em $ A \times C $, e como $ A \times C \subset B \times D $, $ (x, y) $ também está em $ B \times D $.
Passo 14
Isso significa que $ x $ está em $ B $, já que o primeiro elemento do par está em $ B $.
Passo 15
Como isso vale para qualquer $ x $ em $ A $, temos que $ A \subset B $.
Passo 16
De forma semelhante, pegue um elemento $ y $ qualquer em $ C $. Como $ A $ não está vazio, existe pelo menos um $ x $ em $ A $.
Passo 17
Então, $ (x, y) $ está em $ A \times C \subset B \times D $, o que implica que $ y $ está em $ D $.
Passo 18
Assim, todo $ y $ em $ C $ está também em $ D $, ou seja, $ C \subset D $.
Resposta
Portanto, mostramos que $ A \neq \emptyset $, $ C \neq \emptyset $, $ A \neq C $, $ A \subset B $ e $ C \subset D $ são equivalentes a $ A \times C \subset B \times D $.