Demonstre que valem as seguintes igualdades:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que duas expressões envolvendo conjuntos são iguais:
Estamos trabalhando com teoria dos conjuntos, especificamente com operações como união (
) e diferença de conjuntos (
). Para resolver isso, vamos mostrar que cada lado da igualdade está contido no outro.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que
.
Passo 2.1: Seja
. Isso significa que
ou
.
Passo 2.2: Se
, então obviamente
.
Passo 2.3: Além disso, se
, não pode estar em
, porque
contém elementos que estão em
mas não em
. Como
, ele não pertence a
.
Passo 2.4: Portanto, se
, então
.
Passo 2.5: Se
, então
e
.
Passo 2.6: Como
, também temos
.
Passo 2.7: Além disso, como
, ele automaticamente não está em
.
Passo 2.8: Logo, se
, então
.
Conclusão do Passo 2: Em ambos os casos,
. Portanto,
.
Passo 3
Agora, vamos provar que
.
Passo 3.1: Seja
. Isso significa que
e
.
Passo 3.2: Se
, então claramente
.
Passo 3.3: Se
, precisamos analisar mais: já que
, isso significa que ou
ou
.
Passo 3.4: Se
, já está incluso em
.
Passo 3.5: Se
, então como
, temos
. Logo,
.
Conclusão do Passo 3: Em ambos os casos,
. Portanto,
.
Resposta
Assim, mostramos que
. ✅