Demonstre que valem as seguintes igualdades:
c) A cup(B-C)=(A cup B)-(C-A)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que duas expressões envolvendo conjuntos são iguais:
A cup (B - C) = (A cup B) - (C - A)
Estamos trabalhando com teoria dos conjuntos, especificamente com operações como união ( cup) e diferença de conjuntos ( -). Para resolver isso, vamos mostrar que cada lado da igualdade está contido no outro.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que A cup (B - C) subseteq (A cup B) - (C - A).
Passo 2.1: Seja x in A cup (B - C). Isso significa que x in A ou x in B - C.
Passo 2.2: Se x in A, então obviamente x in A cup B.
Passo 2.3: Além disso, se x in A, não pode estar em C - A, porque C - A contém elementos que estão em C mas não em A. Como x in A, ele não pertence a C - A.
Passo 2.4: Portanto, se x in A, então x in (A cup B) - (C - A).
Passo 2.5: Se x in B - C, então x in B e x notin C.
Passo 2.6: Como x in B, também temos x in A cup B.
Passo 2.7: Além disso, como x notin C, ele automaticamente não está em C - A.
Passo 2.8: Logo, se x in B - C, então x in (A cup B) - (C - A).
Conclusão do Passo 2: Em ambos os casos, x in (A cup B) - (C - A). Portanto, A cup (B - C) subseteq (A cup B) - (C - A).

Passo 3

Agora, vamos provar que (A cup B) - (C - A) subseteq A cup (B - C).
Passo 3.1: Seja x in (A cup B) - (C - A). Isso significa que x in A cup B e x notin C - A.
Passo 3.2: Se x in A, então claramente x in A cup (B - C).
Passo 3.3: Se x in B, precisamos analisar mais: já que x notin C - A, isso significa que ou x notin C ou x in A.
Passo 3.4: Se x in A, já está incluso em A cup (B - C).
Passo 3.5: Se x notin C, então como x in B, temos x in B - C. Logo, x in A cup (B - C).
Conclusão do Passo 3: Em ambos os casos, x in A cup (B - C). Portanto, (A cup B) - (C - A) subseteq A cup (B - C).

Resposta

Assim, mostramos que A cup (B - C) = (A cup B) - (C - A). ✅

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