Demonstre que:
a)
e
são disjuntos se, e somente se par todo conjunto não vazio
e
são disjuntos.
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente provar que dois conjuntos, $ A $ e $ B $, são disjuntos se e somente se, para qualquer conjunto não vazio $ C $, os produtos cartesianos $ A \times C $ e $ B \times C $ também são disjuntos. Estamos lidando com Teoria de Conjuntos e Produtos Cartesianos. Para resolver, vamos precisar entender o que significa dois conjuntos serem disjuntos e como funciona o produto cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dois conjuntos serem disjuntos. Dois conjuntos $ A $ e $ B $ são disjuntos se eles não têm nenhum elemento em comum, ou seja, $ A \cap B = \emptyset $.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é o produto cartesiano. Para dois conjuntos $ A $ e $ C $, o produto cartesiano $ A \times C $ é o conjunto de todos os pares ordenados onde o primeiro elemento é de $ A $ e o segundo de $ C $. Ou seja, $ A \times C = { (a, c) \mid a \in A, c \in C } $.
Passo 4
Vamos provar a primeira parte: Se $ A $ e $ B $ são disjuntos, então $ A \times C $ e $ B \times C $ são disjuntos para qualquer $ C $ não vazio.
Como $ A $ e $ B $ não têm elementos em comum, não existe nenhum elemento que esteja em ambos. Então, qualquer par $ (a, c) $ em $ A \times C $ tem $ a $ em $ A $ e, como não há $ a $ comum com $ B $, não pode haver um $ (a, c) $ também em $ B \times C $. Portanto, $ A \times C $ e $ B \times C $ não compartilham nenhum par, ou seja, são disjuntos.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte: Se para todo conjunto não vazio $ C $, $ A \times C $ e $ B \times C $ são disjuntos, então $ A $ e $ B $ são disjuntos.
Suponha que $ A $ e $ B $ não sejam disjuntos. Então, existe pelo menos um elemento $ x $ que está em ambos $ A $ e $ B $. Vamos escolher $ C = {c} $, um conjunto com um único elemento. Então, $ A \times C $ contém $ (x, c) $ e $ B \times C $ também contém $ (x, c) $. Isso significa que $ A \times C $ e $ B \times C $ têm pelo menos esse par em comum, o que contradiz a suposição de que eles são disjuntos. Logo, nossa hipótese inicial de $ A $ e $ B $ não serem disjuntos está errada, logo $ A $ e $ B $ devem ser disjuntos.
Resposta
Assim, demonstramos que $ A $ e $ B $ são disjuntos se e somente se, para todo conjunto não vazio $ C $, os produtos cartesianos $ A \times C $ e $ B \times C $ também são disjuntos.