Demonstre cada afirmação usando a definição
de limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para demonstrar afirmações usando a definição de limite com
e
. Isso faz parte do cálculo, especificamente do estudo dos limites de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que significam
(uma pequena variação no valor da função) e
(uma pequena variação na variável independente) e como eles se relacionam para provar que o limite de uma função é um determinado valor.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite usando
e
. Dizemos que
se, para todo
, existe um
tal que, sempre que
, então
. Basicamente, queremos mostrar que podemos tornar
tão próximo de
quanto quisermos, escolhendo
suficientemente perto de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso a uma afirmação específica. Suponha que queremos demonstrar que
. Nosso objetivo é provar que, para qualquer
, podemos encontrar um
para satisfazer a definição.
Passo 4
Vamos começar assumindo um
qualquer. Queremos encontrar um
tal que, se
, então
. Simplificando a expressão dentro do valor absoluto:
Passo 5
Queremos que
. Para isso, basta que
. Portanto, podemos escolher:
Passo 6
Agora, com essa escolha de
, se
, então:
Isso satisfaz a definição de limite.
Resposta
Portanto, demonstramos que
usando a definição de limite com
e
.
Exercícios relacionados
(d)
Explique com suas palavras o significado de cada um dos itens a seguir.