Demonstre cada afirmação usando a definição varepsilon, delta de limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para demonstrar afirmações usando a definição de limite com varepsilon e delta. Isso faz parte do cálculo, especificamente do estudo dos limites de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que significam varepsilon (uma pequena variação no valor da função) e delta (uma pequena variação na variável independente) e como eles se relacionam para provar que o limite de uma função é um determinado valor.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite usando varepsilon e delta. Dizemos que se, para todo , existe um tal que, sempre que , então . Basicamente, queremos mostrar que podemos tornar f(x) tão próximo de L quanto quisermos, escolhendo x suficientemente perto de a.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso a uma afirmação específica. Suponha que queremos demonstrar que . Nosso objetivo é provar que, para qualquer , podemos encontrar um para satisfazer a definição.

Passo 4

Vamos começar assumindo um qualquer. Queremos encontrar um delta tal que, se , então . Simplificando a expressão dentro do valor absoluto:

Passo 5

Queremos que . Para isso, basta que . Portanto, podemos escolher:

Passo 6

Agora, com essa escolha de delta, se , então:
Isso satisfaz a definição de limite.

Resposta

Portanto, demonstramos que usando a definição de limite com varepsilon e delta.

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