Demonstre que o calor transferido durante um processo infinitesimal quase-estático de um gás perfeito pode ser escrito como:
Aplicando esta equação a um processo adiabático, demonstre que
constante.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que demonstrar que o calor transferido, durante um processo infinitesimal quase-estático de um gás perfeito, pode ser expresso por:
E, em seguida, aplicar essa equação a um processo adiabático para mostrar que
constante. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as relações termodinâmicas básicas dos gases perfeitos, como a primeira lei da termodinâmica, as capacidades caloríficas a volume constante
e a pressão constante
, além da relação entre elas através da constante adiabática
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da primeira lei da termodinâmica, que relaciona a variação da energia interna (
), o calor fornecido ao sistema (
) e o trabalho realizado pelo sistema (
):
Para um gás perfeito, a energia interna depende apenas da temperatura e está relacionada com a capacidade calorífica a volume constante (
):
Aqui,
é a quantidade de substância do gás.
Passo 3
O trabalho realizado pelo gás em um processo quasi-estático é dado por:
Agora, combinando com a primeira lei:
Nosso objetivo é expressar
em termos de
e
, então vamos isolar
:
Passo 4
Agora, precisamos expressar
em termos de
e
. Para isso, usamos a lei dos gases perfeitos:
Onde
é a constante dos gases. Diferenciando essa equação:
Isolando
:
Passo 5
Substituindo
na equação de
:
Simplificando:
Reagrupando os termos:
Fatorando
:
Sabemos que
, então:
Substituindo de volta:
Dividindo ambos os lados por
:
Reorganizando:
Passo 6
Agora, vamos aplicar essa equação a um processo adiabático, onde não há troca de calor, ou seja,
:
Podemos multiplicar toda a equação por
para simplificar:
Lembrando que
:
Rearranjando os termos:
Dividindo ambos os lados por
:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Ou, de forma equivalente:
Resposta
Demonstramos que, em um processo adiabático para um gás perfeito, a relação
permanece constante.
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