Demonstre que o calor transferido durante um processo infinitesimal quase-estático de um gás perfeito pode ser escrito como:
d Q=CVn R V d P+CPn R P d V
Aplicando esta equação a um processo adiabático, demonstre que P V^gamma= constante.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que demonstrar que o calor transferido, durante um processo infinitesimal quase-estático de um gás perfeito, pode ser expresso por:
d Q=CVn R V d P+CPn R P d V
E, em seguida, aplicar essa equação a um processo adiabático para mostrar que constante. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as relações termodinâmicas básicas dos gases perfeitos, como a primeira lei da termodinâmica, as capacidades caloríficas a volume constante e a pressão constante , além da relação entre elas através da constante adiabática .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da primeira lei da termodinâmica, que relaciona a variação da energia interna ( dU = dQ - dW ), o calor fornecido ao sistema ( dU = n CV dT ) e o trabalho realizado pelo sistema ( ):
Para um gás perfeito, a energia interna depende apenas da temperatura e está relacionada com a capacidade calorífica a volume constante ( ):
Aqui, é a quantidade de substância do gás.

Passo 3

O trabalho realizado pelo gás em um processo quasi-estático é dado por:
dW = P dV
Agora, combinando com a primeira lei:
n CV dT = dQ - P dV
Nosso objetivo é expressar dQ = n CV dT + P dV em termos de e , então vamos isolar :

Passo 4

Agora, precisamos expressar P V = n R T em termos de P dV + V dP = n R dT e dT = P dV + V dPn R . Para isso, usamos a lei dos gases perfeitos:
Onde é a constante dos gases. Diferenciando essa equação:
Isolando :

Passo 5

Substituindo dQ = n CV ( P dV + V dPn R ) + P dV na equação de dQ = CVR (P dV + V dP) + P dV :
dQ = ( CVR P + P ) dV + CVR V dP
Simplificando:
dQ = P ( CVR + 1 ) dV + CVR V dP
Reagrupando os termos:
CVR + 1 = CPR
Fatorando dQ = CPR P dV + CVR V dP :
dQ = CPn R P dV + CVn R V dP
Sabemos que d Q=CVn R V d P+CPn R P d V , então:
Substituindo de volta:
Dividindo ambos os lados por :
Reorganizando:

Passo 6

Agora, vamos aplicar essa equação a um processo adiabático, onde não há troca de calor, ou seja, 0 = CVn R V d P+CPn R P d V :
0 = V dP + CPCV P dV
Podemos multiplicar toda a equação por 0 = V dP + gamma P dV para simplificar:
V dP = -gamma P dV
Lembrando que dPP = -gamma dVV :
integral dPP = -gamma integral dVV
Rearranjando os termos:
ln P = -gamma ln V + constante
Dividindo ambos os lados por P = constante times V^-gamma :
P V^gamma = constante
Integrando ambos os lados:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Ou, de forma equivalente:

Resposta

Demonstramos que, em um processo adiabático para um gás perfeito, a relação permanece constante.

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