Demonstre que o calor transferido durante um processo infinitesimal quase-estático de um gás perfeito pode ser escrito como:
Aplicando esta equação a um processo adiabático, demonstre que constante.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que demonstrar que o calor transferido, durante um processo infinitesimal quase-estático de um gás perfeito, pode ser expresso por:
E, em seguida, aplicar essa equação a um processo adiabático para mostrar que constante. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as relações termodinâmicas básicas dos gases perfeitos, como a primeira lei da termodinâmica, as capacidades caloríficas a volume constante e a pressão constante , além da relação entre elas através da constante adiabática .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da primeira lei da termodinâmica, que relaciona a variação da energia interna ( ), o calor fornecido ao sistema ( ) e o trabalho realizado pelo sistema ( ):
Para um gás perfeito, a energia interna depende apenas da temperatura e está relacionada com a capacidade calorífica a volume constante ( ):
Aqui, é a quantidade de substância do gás.

Passo 3

O trabalho realizado pelo gás em um processo quasi-estático é dado por:
Agora, combinando com a primeira lei:
Nosso objetivo é expressar em termos de e , então vamos isolar :

Passo 4

Agora, precisamos expressar em termos de e . Para isso, usamos a lei dos gases perfeitos:
Onde é a constante dos gases. Diferenciando essa equação:
Isolando :

Passo 5

Substituindo na equação de :
Simplificando:
Reagrupando os termos:
Fatorando :
Sabemos que , então:
Substituindo de volta:
Dividindo ambos os lados por :
Reorganizando:

Passo 6

Agora, vamos aplicar essa equação a um processo adiabático, onde não há troca de calor, ou seja, :
Podemos multiplicar toda a equação por para simplificar:
Lembrando que :
Rearranjando os termos:
Dividindo ambos os lados por :
Integrando ambos os lados:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Ou, de forma equivalente:

Resposta

Demonstramos que, em um processo adiabático para um gás perfeito, a relação permanece constante.

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