Demonstre as equivalências abaixo:
d) A^C subset B^C Leftrightarrow A cup B=A

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para demonstrar que $ A^{C} \subset B^{C} $ é equivalente a $ A \cup B = A $. Isso está relacionado ao estudo de conjuntos, especificamente às operações de união e complemento, e às relações de inclusão entre conjuntos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são complemento de conjuntos, união de conjuntos e como mostrar que uma inclusão implica outra condição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o complemento de um conjunto. Se temos um conjunto universal $ U $, o complemento de $ A $, escrito como $ A^{C} $, é o conjunto de todos os elementos que estão em $ U $ mas não estão em $ A $.

Passo 3

Agora, vamos analisar a inclusão $ A^{C} \subset B^{C} $. Isso significa que todo elemento que não está em $ A $ também não está em $ B $. Ou seja, se algo não está em $ A $, então definitivamente não está em $ B $.

Passo 4

Vamos traduzir essa afirmação para termos mais simples. Se todo elemento que não está em $ A $ também não está em $ B $, isso implica que todo elemento que está em $ B $ deve estar em $ A $. Por quê? Porque se um elemento está em $ B $ e não estivesse em $ A $, ele pertenceria a $ A^{C} $ mas não a $ B^{C} $, o que violaria a inclusão.

Passo 5

Então, se todo elemento de $ B $ está em $ A $, isso significa que a união de $ A $ e $ B $ não adiciona nenhum elemento novo a $ A $. Em outras palavras, $ A \cup B $ não tem mais elementos do que $ A $. Portanto, $ A \cup B = A $.

Passo 6

Agora, vamos fazer o caminho inverso. Se $ A \cup B = A $, isso significa que não há elementos em $ B $ que não estejam já em $ A $. Então, qualquer elemento que não está em $ A $ também não está em $ B $, o que significa que $ A^{C} \subset B^{C} $.

Resposta

Portanto, demonstramos que $ A^{C} \subset B^{C} $ é equivalente a $ A \cup B = A $.

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