Demonstre as implicações abaixo e verifique se vale a recíproca, justificando sua resposta:
c) A cap B=varnothing e A cup B=C Rightarrow A=C-B

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A questão está falando sobre conjuntos, que é uma parte da matemática chamada de Teoria dos Conjuntos. Precisamos demonstrar que se a interseção de A e B é vazia (ou seja, $ A \cap B = \varnothing $) e a união de A e B dá C (ou seja, $ A \cup B = C $), então A é igual a $ C - B $. Para resolver isso, vamos lembrar o que significa interseção, união e a diferença entre conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que $ A \cap B = \varnothing $ significa que não há nenhum elemento que esteja simultaneamente em A e em B. Eles são completamente separados.

Passo 3

A união $ A \cup B = C $ significa que todo elemento que está em A ou em B está em C. Então, C contém todos os elementos de A e de B, sem sobreposição, já que A e B são disjuntos.

Passo 4

Agora, queremos mostrar que A é igual a $ C - B $. A diferença $ C - B $ consiste em todos os elementos que estão em C, mas não estão em B.

Passo 5

Como $ A \cup B = C $ e $ A \cap B = \varnothing $, sabemos que A contém exatamente os elementos de C que não estão em B. Porque todos os elementos de C estão ou em A ou em B, e não há elementos que estão nos dois ao mesmo tempo.

Passo 6

Portanto, $ C - B $ pega todos os elementos de C que não estão em B, que são exatamente os elementos que estão em A. Assim, $ A = C - B $.

Passo 7

Agora, vamos verificar se a recíproca é verdadeira. Ou seja, se $ A = C - B $, então $ A \cap B = \varnothing $ e $ A \cup B = C $.

Passo 8

Se $ A = C - B $, significa que A contém todos os elementos de C que não estão em B. Então, não pode haver elementos comuns entre A e B, o que confirma que $ A \cap B = \varnothing $.

Passo 9

Além disso, como A contém todos os elementos de C que não estão em B e B já está em C, a união de A e B será todo o conjunto C, ou seja, $ A \cup B = C $.

Resposta

Sim, a recíproca também é verdadeira. Portanto, $ A \cap B = \varnothing $ e $ A \cup B = C $ equivalem a $ A = C - B $.

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