Demonstre e exemplifique para um gás ideal.
b) (partial Vpartial TP)P(partial Tpartial P)V(partial Ppartial V)T=-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrarmos que para um gás ideal. Isso envolve entender as relações entre volume , temperatura e pressão de um gás ideal. Vamos precisar usar a equação dos gases ideais e entender como calcular derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação dos gases ideais:
PV = nRT
Onde:
  • PV = T é a pressão,
  • é o volume,
  • é a quantidade de substância,
  • é a constante dos gases ideais,
  • é a temperatura.
Para simplificar, vamos considerar , assim a equação fica:

Passo 3

Agora, precisamos calcular cada uma das derivadas parciais:
  1. : derivada do volume em relação à temperatura mantendo a pressão constante.
  2. : derivada da temperatura em relação à pressão mantendo o volume constante.
  3. : derivada da pressão em relação ao volume mantendo a temperatura constante.
Vamos calcular cada uma delas.

Passo 4

Primeiro, V = TP :
A partir da equação (partial Vpartial T)P = 1P , resolvemos para :
Derivando em relação a com constante:

Passo 5

Segundo, T = PV :
Novamente, partindo de (partial Tpartial P)V = V , resolvemos para :
Derivando em relação a com constante:

Passo 6

Terceiro, P = TV :
Partindo de (partial Ppartial V)T = -TV^2 , resolvemos para :
Derivando em relação a com constante:

Passo 7

Agora, vamos multiplicar as três derivadas:
(partial Vpartial T)P (partial Tpartial P)V (partial Ppartial V)T = (1P) times V times (-TV^2)
Simplificando:
= 1P times V times (-TV^2) = -TP V
Mas sabemos que, da equação dos gases ideais, -TP V = -TT = -1 , então:

Resposta

Conseguimos demonstrar que para um gás ideal.

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