Demonstre e exemplifique para um gás ideal.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrarmos que
para um gás ideal. Isso envolve entender as relações entre volume
, temperatura
e pressão
de um gás ideal. Vamos precisar usar a equação dos gases ideais e entender como calcular derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da equação dos gases ideais:
Onde:
-
é a pressão, -
é o volume, -
é a quantidade de substância, -
é a constante dos gases ideais, -
é a temperatura.
Para simplificar, vamos considerar
, assim a equação fica:
Passo 3
Agora, precisamos calcular cada uma das derivadas parciais:
-
: derivada do volume em relação à temperatura mantendo a pressão constante. -
: derivada da temperatura em relação à pressão mantendo o volume constante. -
: derivada da pressão em relação ao volume mantendo a temperatura constante.
Vamos calcular cada uma delas.
Passo 4
Primeiro,
:
A partir da equação
, resolvemos para
:
Derivando em relação a
com
constante:
Passo 5
Segundo,
:
Novamente, partindo de
, resolvemos para
:
Derivando em relação a
com
constante:
Passo 6
Terceiro,
:
Partindo de
, resolvemos para
:
Derivando em relação a
com
constante:
Passo 7
Agora, vamos multiplicar as três derivadas:
Simplificando:
Mas sabemos que, da equação dos gases ideais,
, então:
Resposta
Conseguimos demonstrar que
para um gás ideal.
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