Demonstre e exemplifique para um gás ideal.
a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar e exemplificar que, para um gás ideal, a derivada de em relação a mantendo constante é igual ao inverso da derivada de em relação a mantendo constante. Basicamente, estamos trabalhando com a Lei dos Gases Ideais e explorando como volume e pressão se relacionam quando a temperatura é constante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei dos Gases Ideais, que é dada por:
Onde:
  • é a pressão,
  • é o volume,
  • é a quantidade de substância (em mols),
  • é a constante dos gases,
  • é a temperatura.
Como queremos relacionar e mantendo constante, podemos reescrever a equação para expressar em função de :
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a mantendo constante:
Em seguida, vamos calcular a derivada de em relação a mantendo constante. Primeiro, expressamos em função de :
Agora, derivamos em relação a :

Passo 3

Agora, observamos as duas derivadas que calculamos:
Para verificar se uma é o inverso da outra, multiplicamos as duas derivadas:
Agora, utilizando novamente a Lei dos Gases Ideais , podemos substituir:
Substituindo na expressão acima:
Isso mostra que:
Portanto:

Resposta

Demonstramos que, para um gás ideal, .

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