Demonstre e exemplifique para um gás ideal.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar e exemplificar que, para um gás ideal, a derivada de
em relação a
mantendo
constante é igual ao inverso da derivada de
em relação a
mantendo
constante. Basicamente, estamos trabalhando com a Lei dos Gases Ideais e explorando como volume e pressão se relacionam quando a temperatura é constante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei dos Gases Ideais, que é dada por:
Onde:
-
é a pressão, -
é o volume, -
é a quantidade de substância (em mols), -
é a constante dos gases, -
é a temperatura.
Como queremos relacionar
e
mantendo
constante, podemos reescrever a equação para expressar
em função de
:
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
mantendo
constante:
Em seguida, vamos calcular a derivada de
em relação a
mantendo
constante. Primeiro, expressamos
em função de
:
Agora, derivamos
em relação a
:
Passo 3
Agora, observamos as duas derivadas que calculamos:
Para verificar se uma é o inverso da outra, multiplicamos as duas derivadas:
Agora, utilizando novamente a Lei dos Gases Ideais
, podemos substituir:
Substituindo
na expressão acima:
Isso mostra que:
Portanto:
Resposta
Demonstramos que, para um gás ideal,
.
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.
Demonstre e exemplifique para um gás ideal.
b)
b)
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