Demonstre e exemplifique para um gás ideal.
a) (partial Vpartial P)T=1(partial Ppartial V)T

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar e exemplificar que, para um gás ideal, a derivada de em relação a mantendo constante é igual ao inverso da derivada de em relação a mantendo constante. Basicamente, estamos trabalhando com a Lei dos Gases Ideais e explorando como volume e pressão se relacionam quando a temperatura é constante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei dos Gases Ideais, que é dada por:
PV = nRT
Onde:
  • V = nRTP é a pressão,
  • ( partial Vpartial P )T = partialpartial P ( nRTP ) é o volume,
  • ( partial Vpartial P )T = -nRTP^2 é a quantidade de substância (em mols),
  • P = nRTV é a constante dos gases,
  • ( partial Ppartial V )T = partialpartial V ( nRTV ) é a temperatura.
Como queremos relacionar ( partial Ppartial V )T = -nRTV^2 e mantendo constante, podemos reescrever a equação para expressar em função de :
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a mantendo constante:
Em seguida, vamos calcular a derivada de em relação a mantendo constante. Primeiro, expressamos em função de :
Agora, derivamos em relação a :

Passo 3

Agora, observamos as duas derivadas que calculamos:
( partial Vpartial P )T = -nRTP^2
( partial Ppartial V )T = -nRTV^2
Para verificar se uma é o inverso da outra, multiplicamos as duas derivadas:
( partial Vpartial P )T times ( partial Ppartial V )T = (-nRTP^2) times (-nRTV^2)
= (nRT)^2P^2 V^2
Agora, utilizando novamente a Lei dos Gases Ideais PV = nRT Rightarrow P = nRTV , podemos substituir:
(nRT)^2(nRTV)^2 V^2 = (nRT)^2(nRT)^2V^2 V^2 = (nRT)^2(nRT)^2 = 1
Substituindo ( partial Vpartial P )T times ( partial Ppartial V )T = 1 na expressão acima:
( partial Vpartial P )T = 1( partial Ppartial V )T
Isso mostra que:
Portanto:

Resposta

Demonstramos que, para um gás ideal, .

Exercícios relacionados