Demonstre que, para um gás de van der Waals, partindo de podemos estimar volume crítico, temperatura e pressão críticas a partir dos parâmetros e , chegando-se a
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício sobre o gás de van der Waals, que é um modelo que ajusta a equação dos gases ideais levando em conta o tamanho das moléculas e as forças de atração entre elas. A gente precisa demostrar como encontrar os valores críticos de volume (VC), temperatura (TC) e pressão (PC) usando os parâmetros a e b da equação de van der Waals. Para isso, vamos usar as condições dadas para o ponto crítico, onde as primeiras duas derivadas da pressão em relação ao volume são zero.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de van der Waals:
P = RTV - b - aV^2
Aqui, P é a pressão, V é o volume, T é a temperatura, R é a constante dos gases, e a e b são parâmetros que ajustam a equação para levar em conta as interações intermoleculares e o volume das moléculas, respectivamente.
Passo 3
Nas condições críticas, a primeira derivada da pressão em relação ao volume é zero. Vamos calcular essa derivada:
(partial Ppartial V)T = 0
Derivando a equação de van der Waals em relação a V:
partial Ppartial V = -RT(V - b)^2 + 2aV^3 = 0
Passo 4
Agora, temos a segunda condição crítica, onde a segunda derivada da pressão em relação ao volume também é zero:
(partial^2 Ppartial V^2)T = 0
Vamos derivar novamente a primeira derivada:
partial^2 Ppartial V^2 = 2RT(V - b)^3 - 6aV^4 = 0
Passo 5
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (VC e TC). Vamos resolver esse sistema para encontrar o volume crítico.