Demonstre que, para um gás de van der Waals, partindo de (partial Ppartial V)T=TC=0 (partial^2 Ppartial V^2)T=TC=0 podemos estimar volume crítico, temperatura e pressão críticas a partir dos parâmetros a e b, chegando-se a
VC=3 b, TC=8 a27 R b, PC=127 ab^2

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício sobre o gás de van der Waals, que é um modelo que ajusta a equação dos gases ideais levando em conta o tamanho das moléculas e as forças de atração entre elas. A gente precisa demostrar como encontrar os valores críticos de volume ( VC), temperatura ( TC) e pressão ( PC) usando os parâmetros a e b da equação de van der Waals. Para isso, vamos usar as condições dadas para o ponto crítico, onde as primeiras duas derivadas da pressão em relação ao volume são zero.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de van der Waals:
P = RTV - b - aV^2
Aqui, P é a pressão, V é o volume, T é a temperatura, R é a constante dos gases, e a e b são parâmetros que ajustam a equação para levar em conta as interações intermoleculares e o volume das moléculas, respectivamente.

Passo 3

Nas condições críticas, a primeira derivada da pressão em relação ao volume é zero. Vamos calcular essa derivada:
(partial Ppartial V)T = 0
Derivando a equação de van der Waals em relação a V:
partial Ppartial V = -RT(V - b)^2 + 2aV^3 = 0

Passo 4

Agora, temos a segunda condição crítica, onde a segunda derivada da pressão em relação ao volume também é zero:
(partial^2 Ppartial V^2)T = 0
Vamos derivar novamente a primeira derivada:
partial^2 Ppartial V^2 = 2RT(V - b)^3 - 6aV^4 = 0

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( VC e TC). Vamos resolver esse sistema para encontrar o volume crítico.
Primeiro, da primeira equação:
-RT(VC - b)^2 + 2aVC^3 = 0 Rightarrow RT(VC - b)^2 = 2aVC^3

Passo 6

Da segunda equação:
2RT(VC - b)^3 - 6aVC^4 = 0 Rightarrow 2RT(VC - b)^3 = 6aVC^4
Simplificando:
RT(VC - b)^3 = 3aVC^4

Passo 7

Dividindo a equação do passo 5 pela equação do passo 6:
RT(VC - b)^2RT(VC - b)^3 = 2aVC^33aVC^4
Simplificando os termos:
VC - b = 23 VC

Passo 8

Resolvendo para VC:
VC - b = 23 VC Rightarrow VC - 23 VC = b Rightarrow 13 VC = b Rightarrow VC = 3b
Então, encontramos que o volume crítico é VC = 3b.

Passo 9

Agora, vamos substituir VC = 3b na equação do passo 5 para encontrar a temperatura crítica TC:
RTC(3b - b)^2 = 2a(3b)^3 Rightarrow RTC(2b)^2 = 2a27b^3
Simplificando:
RTC4b^2 = 2a27b^3 Rightarrow TC = 2a27b^3 times 4b^2R = 8a27Rb
Então, a temperatura crítica é TC = 8 a27 R b.

Passo 10

Por fim, vamos encontrar a pressão crítica PC substituindo VC = 3b e TC = 8 a27 R b na equação de van der Waals:
PC = R TCVC - b - aVC^2 = R (8 a27 R b)3b - b - a(3b)^2
Simplificando:
PC = 8a27b2b - a9b^2 = 8a54b^2 - a9b^2 = 8a54b^2 - 6a54b^2 = 2a54b^2 = a27b^2
Então, a pressão crítica é PC = a27 b^2.

Resposta

Finalmente, os valores críticos são:
VC = 3b, TC = 8 a27 R b, PC = a27 b^2

Exercícios relacionados