Demonstre que, para um gás de van der Waals, partindo de podemos estimar volume crítico, temperatura e pressão críticas a partir dos parâmetros e , chegando-se a
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício sobre o gás de van der Waals, que é um modelo que ajusta a equação dos gases ideais levando em conta o tamanho das moléculas e as forças de atração entre elas. A gente precisa demostrar como encontrar os valores críticos de volume (), temperatura () e pressão () usando os parâmetros e da equação de van der Waals. Para isso, vamos usar as condições dadas para o ponto crítico, onde as primeiras duas derivadas da pressão em relação ao volume são zero.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de van der Waals:
Aqui, é a pressão, é o volume, é a temperatura, é a constante dos gases, e e são parâmetros que ajustam a equação para levar em conta as interações intermoleculares e o volume das moléculas, respectivamente.
Passo 3
Nas condições críticas, a primeira derivada da pressão em relação ao volume é zero. Vamos calcular essa derivada:
Derivando a equação de van der Waals em relação a :
Passo 4
Agora, temos a segunda condição crítica, onde a segunda derivada da pressão em relação ao volume também é zero:
Vamos derivar novamente a primeira derivada:
Passo 5
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ). Vamos resolver esse sistema para encontrar o volume crítico.
Primeiro, da primeira equação:
Passo 6
Da segunda equação:
Simplificando:
Passo 7
Dividindo a equação do passo 5 pela equação do passo 6:
Simplificando os termos:
Passo 8
Resolvendo para :
Então, encontramos que o volume crítico é .
Passo 9
Agora, vamos substituir na equação do passo 5 para encontrar a temperatura crítica:
Simplificando:
Então, a temperatura crítica é .
Passo 10
Por fim, vamos encontrar a pressão crítica substituindo e na equação de van der Waals: