Demonstre que a prancha realiza movimento harmônico simples com frequência angular
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a prancha faz um movimento harmônico simples (MHS) com uma frequência angular específica, que é
. Então, estamos lidando com Mecânica, mais especificamente com Movimento Harmônico Simples. Para resolver isso, vamos precisar usar as leis de Newton e as equações que descrevem o MHS.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o movimento harmônico simples. É um movimento oscilatório onde a força restauradora é proporcional ao deslocamento e atua na direção oposta. A equação básica é
, onde
é a constante elástica e
é o deslocamento.
Passo 3
Agora, consideramos a prancha como um sistema massa-mola. A força resultante que atua na prancha é a força da mola, que tende a puxá-la de volta à posição de equilíbrio. Se a massa da prancha for
, podemos usar a segunda lei de Newton:
.
Passo 4
Substituindo a força da mola na segunda lei de Newton, temos:
Como a aceleração
é a segunda derivada do deslocamento em relação ao tempo, podemos escrever:
Passo 5
Rearranjando a equação, obtemos a equação diferencial do MHS:
Essa equação tem solução de movimento harmônico simples, onde a frequência angular
é dada por:
Passo 6
Mas a questão menciona
. Isso sugere que há algum fator extra envolvido no sistema, como talvez a distribuição de massa ou uma configuração específica da prancha que multiplica a constante da mola por 3. Por exemplo, se a prancha estiver apoiada em três molas idênticas, a constante efetiva pode ser
.
Passo 7
Assim, substituindo
na fórmula da frequência angular, temos:
Isso confirma que a prancha realiza um movimento harmônico simples com a frequência angular dada.
Resposta
Portanto, demonstramos que a prancha realiza um movimento harmônico simples com frequência angular
.