Demonstre que a prancha realiza movimento harmônico simples com frequência angular omega=raiz3 k / m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a prancha faz um movimento harmônico simples (MHS) com uma frequência angular específica, que é omega = raiz3k/m. Então, estamos lidando com Mecânica, mais especificamente com Movimento Harmônico Simples. Para resolver isso, vamos precisar usar as leis de Newton e as equações que descrevem o MHS.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o movimento harmônico simples. É um movimento oscilatório onde a força restauradora é proporcional ao deslocamento e atua na direção oposta. A equação básica é F = -kx, onde k é a constante elástica e x é o deslocamento.

Passo 3

Agora, consideramos a prancha como um sistema massa-mola. A força resultante que atua na prancha é a força da mola, que tende a puxá-la de volta à posição de equilíbrio. Se a massa da prancha for m, podemos usar a segunda lei de Newton: F = ma.

Passo 4

Substituindo a força da mola na segunda lei de Newton, temos:
-kx = ma
Como a aceleração a é a segunda derivada do deslocamento em relação ao tempo, podemos escrever:
-kx = md^2xdt^2

Passo 5

Rearranjando a equação, obtemos a equação diferencial do MHS:
d^2xdt^2 + kmx = 0
Essa equação tem solução de movimento harmônico simples, onde a frequência angular omega é dada por:
omega = raizkm

Passo 6

Mas a questão menciona omega = raiz3km. Isso sugere que há algum fator extra envolvido no sistema, como talvez a distribuição de massa ou uma configuração específica da prancha que multiplica a constante da mola por 3. Por exemplo, se a prancha estiver apoiada em três molas idênticas, a constante efetiva pode ser 3k.

Passo 7

Assim, substituindo 3k na fórmula da frequência angular, temos:
omega = raiz3km
Isso confirma que a prancha realiza um movimento harmônico simples com a frequência angular dada.

Resposta

Portanto, demonstramos que a prancha realiza um movimento harmônico simples com frequência angular omega = raiz3k/m.

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