Considere inicialmente um fio que passa uma corrente ic=i0 sen(omega t).
Calcule a corrente de deslocamento no interior do capacitor. Compare e comente o resultado obtido com a corrente que carrega o capacitor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um fio que tem uma corrente alternada dada por $ i_c = i_0 \sin(\omega t) $. Nosso objetivo aqui é calcular a corrente de deslocamento dentro de um capacitor e depois comparar esse valor com a corrente que realmente carrega o capacitor. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre correntes elétricas em circuitos de corrente alternada e sobre o conceito de corrente de deslocamento que vem das equações de Maxwell.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um circuito de corrente alternada (AC), a corrente que passa pelo circuito varia senoidalmente com o tempo. A expressão $ i_c = i_0 \sin(\omega t) $ nos dá essa variação, onde:
  • $ i_0 $ é a amplitude da corrente,
  • $ \omega $ é a frequência angular,
  • $ t $ é o tempo.

Passo 3

Agora, precisamos entender o que é a corrente de deslocamento. A corrente de deslocamento $ I_d $ é um conceito introduzido por Maxwell para lidar com a variação do campo elétrico em regiões onde não há movimento de carga livre, como dentro de um capacitor. A fórmula para a corrente de deslocamento é:
Id
Onde:
  • $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo,
  • $ \Phi_E $ é o fluxo elétrico.

Passo 4

No caso de um capacitor, o fluxo elétrico $ \Phi_E $ está relacionado à capacitância $ C $ e à voltagem $ V $ através da relação $ \Phi_E = C V $. Como a voltagem também varia com o tempo em corrente alternada, podemos relacionar a variação da corrente de deslocamento com a derivada da corrente que carrega o capacitor.

Passo 5

Vamos calcular a corrente de deslocamento. Sabemos que a corrente que carrega o capacitor é $ i_c = i_0 \sin(\omega t) $. A derivada dessa corrente em relação ao tempo é:
ic = i0 sin(omega t)
Portanto, a corrente de deslocamento será proporcional a essa derivada:
dicdt = i0 omega cos(omega t)

Passo 6

Comparamos agora as duas correntes:
  • A corrente que carrega o capacitor: $ i_c = i_0 \sin(\omega t) $
  • A corrente de deslocamento: $ I_d = i_c $

Resposta

A corrente de deslocamento no interior do capacitor é igual à corrente que carrega o capacitor, ou seja, $ I_d = i_c = i_0 \sin(\omega t) $. Isso mostra que a corrente de deslocamento complementa a corrente elétrica no circuito, garantindo a continuidade da corrente mesmo dentro do capacitor.

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