Demonstre que, para uma transformação adiabática de um gás ideal, a relação entre pressão § e volume (V) para uma transformação adiabática é dada por:
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver um exercício sobre transformações adiabáticas em gases ideais. A ideia é mostrar que, nessas transformações, a relação entre pressão § e volume (V) segue a equação
. Para isso, vamos usar a primeira lei da termodinâmica e entender um pouco sobre o que é uma transformação adiabática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação adiabática. É um processo no qual não há troca de calor entre o sistema e o ambiente, ou seja, o calor
é igual a zero. Isso vai nos ajudar a simplificar a primeira lei da termodinâmica.
Passo 3
A primeira lei da termodinâmica é dada por:
Onde:
-
é a variação da energia interna, -
é o calor trocado, -
é o trabalho realizado.
Como estamos em uma transformação adiabática,
. Então, a equação fica:
Passo 4
Para um gás ideal, a variação da energia interna
depende da capacidade calorífica a volume constante
e da variação de temperatura
:
Onde
é o número de mols.
O trabalho realizado pelo gás é:
Porém, precisamos relacionar isso de uma forma que conecte pressão e volume diretamente.
Passo 5
Sabemos que para um gás ideal, a relação entre pressão, volume e temperatura é dada pela equação de estado:
Onde
é a constante dos gases.
Vamos usar essa equação para substituir a temperatura na primeira lei e relacionar P e V.
Passo 6
Substituindo
da equação de estado na expressão para
:
Simplificando:
Passo 7
Se rearranjarmos a equação, conseguimos uma relação diferencial entre P e V:
Dividindo tudo por
:
Passo 8
Sabemos que
e que
. Então, podemos substituir
por
:
Passo 9
Essa é uma equação diferencial que podemos integrar:
Passo 10
Exponentiando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Ou seja:
Resposta
Assim, demonstramos que para uma transformação adiabática de um gás ideal, a relação entre pressão e volume é
.