Demonstre que, para uma transformação adiabática de um gás ideal, a relação entre pressão § e volume (V) para uma transformação adiabática é dada por:

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver um exercício sobre transformações adiabáticas em gases ideais. A ideia é mostrar que, nessas transformações, a relação entre pressão § e volume (V) segue a equação . Para isso, vamos usar a primeira lei da termodinâmica e entender um pouco sobre o que é uma transformação adiabática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação adiabática. É um processo no qual não há troca de calor entre o sistema e o ambiente, ou seja, o calor é igual a zero. Isso vai nos ajudar a simplificar a primeira lei da termodinâmica.

Passo 3

A primeira lei da termodinâmica é dada por:
Onde:
  • é a variação da energia interna,
  • é o calor trocado,
  • é o trabalho realizado.
Como estamos em uma transformação adiabática, . Então, a equação fica:

Passo 4

Para um gás ideal, a variação da energia interna depende da capacidade calorífica a volume constante e da variação de temperatura :
Onde é o número de mols.
O trabalho realizado pelo gás é:
Porém, precisamos relacionar isso de uma forma que conecte pressão e volume diretamente.

Passo 5

Sabemos que para um gás ideal, a relação entre pressão, volume e temperatura é dada pela equação de estado:
Onde é a constante dos gases.
Vamos usar essa equação para substituir a temperatura na primeira lei e relacionar P e V.

Passo 6

Substituindo da equação de estado na expressão para :
Simplificando:

Passo 7

Se rearranjarmos a equação, conseguimos uma relação diferencial entre P e V:
Dividindo tudo por :

Passo 8

Sabemos que e que . Então, podemos substituir por :

Passo 9

Essa é uma equação diferencial que podemos integrar:

Passo 10

Exponentiando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Ou seja:

Resposta

Assim, demonstramos que para uma transformação adiabática de um gás ideal, a relação entre pressão e volume é .

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