Demonstre que, para uma transformação adiabática de um gás ideal, a relação entre pressão § e volume (V) para uma transformação adiabática é dada por: P0 V0^gamma=P1 V1 ^gamma

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver um exercício sobre transformações adiabáticas em gases ideais. A ideia é mostrar que, nessas transformações, a relação entre pressão § e volume (V) segue a equação . Para isso, vamos usar a primeira lei da termodinâmica e entender um pouco sobre o que é uma transformação adiabática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação adiabática. É um processo no qual não há troca de calor entre o sistema e o ambiente, ou seja, o calor é igual a zero. Isso vai nos ajudar a simplificar a primeira lei da termodinâmica.

Passo 3

A primeira lei da termodinâmica é dada por:
De
Onde:
  • De é a variação da energia interna,
  • é o calor trocado,
  • é o trabalho realizado.
Como estamos em uma transformação adiabática, . Então, a equação fica:

Passo 4

Para um gás ideal, a variação da energia interna De depende da capacidade calorífica a volume constante W = P De e da variação de temperatura :
Onde é o número de mols.
O trabalho realizado pelo gás é:
Porém, precisamos relacionar isso de uma forma que conecte pressão e volume diretamente.

Passo 5

Sabemos que para um gás ideal, a relação entre pressão, volume e temperatura é dada pela equação de estado:
P V = n R T
Onde é a constante dos gases.
Vamos usar essa equação para substituir a temperatura na primeira lei e relacionar P e V.

Passo 6

Substituindo n CV De da equação de estado na expressão para n CV P Vn R = -P De:
CV P VR = -P De
Simplificando:

Passo 7

Se rearranjarmos a equação, conseguimos uma relação diferencial entre P e V:
CV dVV + R dP = 0
Dividindo tudo por dVV + RCV dPP = 0 :

Passo 8

Sabemos que dVV + (gamma - 1) dPP = 0 e que . Então, podemos substituir por :

Passo 9

Essa é uma equação diferencial que podemos integrar:
integral dVV + (gamma - 1) integral dPP = 0
ln V + (gamma - 1) ln P = constante

Passo 10

Exponentiando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
V cdot P^gamma - 1 = constante
Ou seja:
P V^gamma = constante

Resposta

Assim, demonstramos que para uma transformação adiabática de um gás ideal, a relação entre pressão e volume é .

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