Demonstre a velocidade de um fluido Newtoniano e incompressível em um duto circular de raio

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar a velocidade de um fluido Newtoniano e incompressível que está fluindo dentro de um duto circular com raio . Isso significa que vamos descobrir como a velocidade do fluido varia em função da distância ao centro do duto. Para resolver isso, vamos precisar usar princípios da mecânica dos fluidos, especificamente a equação de Navier-Stokes para fluxo laminar em tubos circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que o fluxo é estacionário, ou seja, não muda com o tempo, e que o fluido é incompressível e Newtoniano (a viscosidade é constante). Também assumimos que não há variação de velocidade na direção angular ( ) ou axial ( ), apenas na direção radial ( ).

Passo 3

A equação de Navier-Stokes para esse cenário simplifica-se bastante. Como só temos variação na direção , a equação fica:
Aqui, é o gradiente de pressão na direção , e é a viscosidade do fluido.

Passo 4

Vamos integrar essa equação uma vez em relação a :
Como não há velocidade infinita no centro do duto, a constante é zero. Então:

Passo 5

Integrando novamente para encontrar :
A constante é determinada pela condição de contorno: a velocidade na parede do duto ( ) é zero (sem deslizamento).

Passo 6

Aplicando :
Então, a expressão para fica:

Resposta

A velocidade do fluido em função da distância radial é dada por:

Exercícios relacionados

O que é transferência de massa. Cite exemplos.
Encontrar o perfil de velocidade de um fluido Newtoniano, fluindo em regime estacionário entre dois tubos concêntricos. Considerar o fluido incompressível e regime laminar.
Por que o sal de cozinha se dissolve melhor em água a do que a
O que difere a análise da difusão em sólidos cristalinos daquela em sólidos porosos?