Demonstre a velocidade de um fluido Newtoniano e incompressível em um duto circular de raio
barVz=integral0^2 pi integral0^R r Vz drd thetaintegral0^2 pi integral0^R rdrd theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar a velocidade de um fluido Newtoniano e incompressível que está fluindo dentro de um duto circular com raio . Isso significa que vamos descobrir como a velocidade do fluido varia em função da distância ao centro do duto. Para resolver isso, vamos precisar usar princípios da mecânica dos fluidos, especificamente a equação de Navier-Stokes para fluxo laminar em tubos circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que o fluxo é estacionário, ou seja, não muda com o tempo, e que o fluido é incompressível e Newtoniano (a viscosidade é constante). Também assumimos que não há variação de velocidade na direção angular ( ) ou axial ( ), apenas na direção radial ( ).

Passo 3

A equação de Navier-Stokes para esse cenário simplifica-se bastante. Como só temos variação na direção dPdz = mu ( 1r ddr(r dVzdr) ) , a equação fica:
Aqui, é o gradiente de pressão na direção , e é a viscosidade do fluido.

Passo 4

Vamos integrar essa equação uma vez em relação a dPdz cdot z = mu ( r dVzdr ) + C1 :
dVzdr = 1mu r dPdz
Como não há velocidade infinita no centro do duto, a constante é zero. Então:

Passo 5

Integrando novamente para encontrar Vz(r) = 14mu dPdz r^2 + C2 :
A constante é determinada pela condição de contorno: a velocidade na parede do duto ( ) é zero (sem deslizamento).

Passo 6

Aplicando 0 = 14mu dPdz R^2 + C2 Rightarrow C2 = -14mu dPdz R^2 :
Vz(r) = 14mu dPdz (R^2 - r^2)
Então, a expressão para fica:

Resposta

A velocidade do fluido em função da distância radial é dada por:
Vz(r) = R^2 - r^24mu dPdz

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