Encontrar o perfil de velocidade de um fluido Newtoniano, fluindo em regime estacionário entre dois tubos concêntricos. Considerar o fluido incompressível e regime laminar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisamos encontrar o perfil de velocidade de um fluido Newtoniano que está fluindo de forma constante (regime estacionário) entre dois tubos que são um dentro do outro (tubos concêntricos). O fluido é incompressível e o fluxo é laminar, ou seja, as camadas do fluido deslizam suavemente umas sobre as outras. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica de fluidos, especificamente as equações de Navier-Stokes aplicadas em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar as coordenadas cilíndricas
, já que estamos lidando com tubos concêntricos. Como o fluxo é laminar e estacionário, a velocidade do fluido só depende da posição radial
e apenas na direção axial
. Então, a velocidade pode ser representada como
.
Passo 3
A equação de Navier-Stokes para o fluxo em coordenadas cilíndricas, considerando que não há variação de velocidade nas direções
e
, e que não há aceleração na direção radial, simplifica para:
Aqui,
é a viscosidade dinâmica do fluido e
é o gradiente de pressão ao longo do tubo.
Passo 4
Vamos integrar essa equação para encontrar
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Integrando em relação a
, temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Dividindo ambos os lados por
:
Integrando novamente:
onde
é outra constante de integração.
Passo 6
Agora, aplicamos as condições de contorno. Supondo que os tubos tenham raios
e
, e que não há deslizamento no fluido (a velocidade é zero nas paredes dos tubos):
Substituindo essas condições nas equações, podemos resolver para as constantes
e
.
Passo 7
Resolvendo o sistema de equações gerado pelas condições de contorno, encontramos que
(para evitar termos logarítmicos que não se cancelam) e:
Resposta
O perfil de velocidade do fluido é dado por:
Exercícios relacionados
Tem-se um viscosímetro rotatório que consta basicamente de dois cilindros coaxiais onde o óleo de ensaio é colocado entre eles. É necessário um torque de 2 N .m para fazer o cilindro interno girar a 30 rpm . Os cilindros possuem
de comprimento e a folga entre eles é de
. Desprezando os efeitos de borda, demonstre que:
A tensão cisalhante é dada por ;
A tensão cisalhante é dada por
Para um escoamento tridimensional demonstre e expresse em termos da velocidade e derivadas da velocidade: A taxa de deformação por cisalhamento.
O que é transferência de massa. Cite exemplos.
Demonstre a velocidade de um fluido Newtoniano e incompressível em um duto circular de raio