Encontrar o perfil de velocidade de um fluido Newtoniano, fluindo em regime estacionário entre dois tubos concêntricos. Considerar o fluido incompressível e regime laminar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisamos encontrar o perfil de velocidade de um fluido Newtoniano que está fluindo de forma constante (regime estacionário) entre dois tubos que são um dentro do outro (tubos concêntricos). O fluido é incompressível e o fluxo é laminar, ou seja, as camadas do fluido deslizam suavemente umas sobre as outras. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica de fluidos, especificamente as equações de Navier-Stokes aplicadas em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar as coordenadas cilíndricas , já que estamos lidando com tubos concêntricos. Como o fluxo é laminar e estacionário, a velocidade do fluido só depende da posição radial e apenas na direção axial . Então, a velocidade pode ser representada como .

Passo 3

A equação de Navier-Stokes para o fluxo em coordenadas cilíndricas, considerando que não há variação de velocidade nas direções e , e que não há aceleração na direção radial, simplifica para:
Aqui, é a viscosidade dinâmica do fluido e é o gradiente de pressão ao longo do tubo.

Passo 4

Vamos integrar essa equação para encontrar . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Integrando em relação a , temos:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Dividindo ambos os lados por :
Integrando novamente:
onde é outra constante de integração.

Passo 6

Agora, aplicamos as condições de contorno. Supondo que os tubos tenham raios e , e que não há deslizamento no fluido (a velocidade é zero nas paredes dos tubos):
Substituindo essas condições nas equações, podemos resolver para as constantes e .

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações gerado pelas condições de contorno, encontramos que (para evitar termos logarítmicos que não se cancelam) e:

Resposta

O perfil de velocidade do fluido é dado por:

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