Encontrar o perfil de velocidade de um fluido Newtoniano, fluindo em regime estacionário entre dois tubos concêntricos. Considerar o fluido incompressível e regime laminar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisamos encontrar o perfil de velocidade de um fluido Newtoniano que está fluindo de forma constante (regime estacionário) entre dois tubos que são um dentro do outro (tubos concêntricos). O fluido é incompressível e o fluxo é laminar, ou seja, as camadas do fluido deslizam suavemente umas sobre as outras. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica de fluidos, especificamente as equações de Navier-Stokes aplicadas em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar as coordenadas cilíndricas (r, theta, z), já que estamos lidando com tubos concêntricos. Como o fluxo é laminar e estacionário, a velocidade do fluido só depende da posição radial r e apenas na direção axial z. Então, a velocidade pode ser representada como Vz(r).

Passo 3

A equação de Navier-Stokes para o fluxo em coordenadas cilíndricas, considerando que não há variação de velocidade nas direções theta e z, e que não há aceleração na direção radial, simplifica para:
1r ddr ( r dVzdr ) = 1mu dPdz
Aqui, mu é a viscosidade dinâmica do fluido e dPdz é o gradiente de pressão ao longo do tubo.

Passo 4

Vamos integrar essa equação para encontrar Vz(r). Primeiro, multiplicamos ambos os lados por r:
ddr ( r dVzdr ) = rmu dPdz
Integrando em relação a r, temos:
r dVzdr = 1mu dPdz r^22 + C1
onde C1 é a constante de integração.

Passo 5

Dividindo ambos os lados por r:
dVzdr = 1mu dPdz r2 + C1r
Integrando novamente:
Vz(r) = 1mu dPdz r^24 + C1 ln(r) + C2
onde C2 é outra constante de integração.

Passo 6

Agora, aplicamos as condições de contorno. Supondo que os tubos tenham raios R1 e R2, e que não há deslizamento no fluido (a velocidade é zero nas paredes dos tubos):
Vz(R1) = 0 e Vz(R2) = 0
Substituindo essas condições nas equações, podemos resolver para as constantes C1 e C2.

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações gerado pelas condições de contorno, encontramos que C1 = 0 (para evitar termos logarítmicos que não se cancelam) e:
Vz(r) = 14mu dPdz (R2^2 - r^2)

Resposta

O perfil de velocidade do fluido é dado por:
Vz(r) = 14mu dPdz (R2^2 - r^2)

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