(a) A densidade de corrente através de um condutor cilíndrico, de raio R, varia de acordo com a equação
J=J0(1-rR)
em que r é a distância ao eixo central. Assim, a densidade de corrente tem um máximo J0 no eixo, r=0 e decresce linearmente até zero na superfície, r=R. Calcular a corrente em termos de J0 e da área A=pi R^2 da seção transversal do condutor. (b) Suponha que, pelo contrário, a densidade de corrente tenha um máximo J0 na superfície do cilindro e decresça linearmente até zero no eixo, de modo que
J=J0 rR
calcular a corrente.
Resp.: (a) A J0 / 3; (b) 2 A J0 / 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre densidade de corrente em um condutor cilíndrico. A densidade de corrente varia de acordo com a distância ao eixo central do cilindro. Para calcular a corrente total, vamos usar conceitos de integração aplicados à distribuição da densidade de corrente na área da seção transversal do cilindro.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a corrente elétrica I = integralA J , dA é obtida integrando a densidade de corrente sobre a área pela qual ela passa. Em coordenadas polares, isso fica mais fácil. A fórmula geral para a corrente é:
Onde é um elemento de área na seção transversal do cilindro.

Passo 3

Como estamos lidando com um cilindro, é conveniente usar coordenadas polares para a integração. Em coordenadas polares, um elemento de área dA = 2pi r , dr é dado por:
Aqui, varia de 0 até o raio do cilindro.

Passo 4

Agora, vamos resolver a parte (a) do exercício. A densidade de corrente é dada por:
J = J0(1 - rR)
Substituindo isso na integral da corrente:
I = integral0^R J0(1 - rR) cdot 2pi r , dr

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
I = 2pi J0 integral0^R (r - r^2R) dr
Agora, integramos termo a termo:
I = 2pi J0 [ r^22 - r^33R ]0^R

Passo 6

Avaliar os limites da integral:
Para R^22 - R^33R = R^22 - R^23 = 3R^2 - 2R^26 = R^26 :
0 - 0 = 0
Para I = 2pi J0 cdot R^26 = pi R^2 J03 :
Portanto:

Passo 7

Sabemos que a área A = pi R^2 da seção transversal do condutor é:
I = A J03
Substituindo na expressão da corrente:

Resposta

(a)
(b)

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