(a) A densidade de corrente através de um condutor cilíndrico, de raio
, varia de acordo com a equação
em que
é a distância ao eixo central. Assim, a densidade de corrente tem um máximo
no eixo,
e decresce linearmente até zero na superfície,
. Calcular a corrente em termos de
e da área
da seção transversal do condutor. (b) Suponha que, pelo contrário, a densidade de corrente tenha um máximo
na superfície do cilindro e decresça linearmente até zero no eixo, de modo que
calcular a corrente.
Resp.: (a)
; (b)
.
Resp.: (a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre densidade de corrente em um condutor cilíndrico. A densidade de corrente
varia de acordo com a distância
ao eixo central do cilindro. Para calcular a corrente total, vamos usar conceitos de integração aplicados à distribuição da densidade de corrente na área da seção transversal do cilindro.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a corrente elétrica
é obtida integrando a densidade de corrente
sobre a área
pela qual ela passa. Em coordenadas polares, isso fica mais fácil. A fórmula geral para a corrente é:
Onde
é um elemento de área na seção transversal do cilindro.
Passo 3
Como estamos lidando com um cilindro, é conveniente usar coordenadas polares para a integração. Em coordenadas polares, um elemento de área
é dado por:
Aqui,
varia de 0 até o raio
do cilindro.
Passo 4
Agora, vamos resolver a parte (a) do exercício. A densidade de corrente é dada por:
Substituindo isso na integral da corrente:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, integramos termo a termo:
Passo 6
Avaliar os limites da integral:
Para
:
Para
:
Portanto:
Passo 7
Sabemos que a área
da seção transversal do condutor é:
Substituindo na expressão da corrente:
Resposta
(a)
(b)