(a) A densidade de corrente através de um condutor cilíndrico, de raio , varia de acordo com a equação
em que é a distância ao eixo central. Assim, a densidade de corrente tem um máximo no eixo, e decresce linearmente até zero na superfície, . Calcular a corrente em termos de e da área da seção transversal do condutor. (b) Suponha que, pelo contrário, a densidade de corrente tenha um máximo na superfície do cilindro e decresça linearmente até zero no eixo, de modo que
calcular a corrente.
Resp.: (a) ; (b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre densidade de corrente em um condutor cilíndrico. A densidade de corrente varia de acordo com a distância ao eixo central do cilindro. Para calcular a corrente total, vamos usar conceitos de integração aplicados à distribuição da densidade de corrente na área da seção transversal do cilindro.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a corrente elétrica é obtida integrando a densidade de corrente sobre a área pela qual ela passa. Em coordenadas polares, isso fica mais fácil. A fórmula geral para a corrente é:
Onde é um elemento de área na seção transversal do cilindro.

Passo 3

Como estamos lidando com um cilindro, é conveniente usar coordenadas polares para a integração. Em coordenadas polares, um elemento de área é dado por:
Aqui, varia de 0 até o raio do cilindro.

Passo 4

Agora, vamos resolver a parte (a) do exercício. A densidade de corrente é dada por:
Substituindo isso na integral da corrente:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, integramos termo a termo:

Passo 6

Avaliar os limites da integral:
Para :
Para :
Portanto:

Passo 7

Sabemos que a área da seção transversal do condutor é:
Substituindo na expressão da corrente:

Resposta

(a)
(b)

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