Uma corda está esticada entre dois suportes fixos separados por 1 m . Observou-se que tem frequências ressonantes em 420 Hz e 315 Hz e nenhuma outra neste intervalo. (a) Qual é a frequência de ressonância mais baixa da corda?
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que fala sobre uma corda esticada entre dois suportes que estão separados por 1 metro. Essa corda tem frequências ressonantes em 420 Hz e 315 Hz, e nenhuma outra nessa faixa. A gente precisa descobrir qual é a frequência de ressonância mais baixa dessa corda. Para resolver isso, vamos usar o conceito de frequências harmônicas em cordas fixas e algumas fórmulas básicas de física.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são frequências ressonantes. Quando a corda vibra, ela pode vibrar em diferentes padrões chamados harmônicos. Cada harmônico corresponde a uma frequência específica. A frequência mais baixa, chamada de fundamental, é a menor frequência em que a corda pode vibrar.
Passo 3
A fórmula para calcular as frequências harmônicas de uma corda fixada nos dois extremos é:
onde:
-
é a frequência do n-ésimo harmônico, -
é um número inteiro positivo (1, 2, 3, …), -
é a velocidade da onda na corda, -
é o comprimento da corda.
Passo 4
Sabemos que a corda tem duas frequências ressonantes dadas: 420 Hz e 315 Hz. Vamos supor que essas s��o duas harmônicas consecutivas, ou seja,
e
.
Passo 5
Vamos chamar a frequência maior (420 Hz) de
e a menor (315 Hz) de
. Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos dividir a equação de
pela de
para eliminar
e
:
Substituindo os valores:
Passo 7
Simplificando a fração:
Então:
Passo 8
Resolvendo para
:
Então,
e
.
Passo 9
Sabendo que
, podemos encontrar a frequência fundamental (
). A frequência fundamental é:
Resposta
A frequência de ressonância mais baixa da corda é 105 Hz.