Uma corda está esticada entre dois suportes fixos separados por 1 m . Observou-se que tem frequências ressonantes em 420 Hz e 315 Hz e nenhuma outra neste intervalo. (a) Qual é a frequência de ressonância mais baixa da corda?

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que fala sobre uma corda esticada entre dois suportes que estão separados por 1 metro. Essa corda tem frequências ressonantes em 420 Hz e 315 Hz, e nenhuma outra nessa faixa. A gente precisa descobrir qual é a frequência de ressonância mais baixa dessa corda. Para resolver isso, vamos usar o conceito de frequências harmônicas em cordas fixas e algumas fórmulas básicas de física.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são frequências ressonantes. Quando a corda vibra, ela pode vibrar em diferentes padrões chamados harmônicos. Cada harmônico corresponde a uma frequência específica. A frequência mais baixa, chamada de fundamental, é a menor frequência em que a corda pode vibrar.

Passo 3

A fórmula para calcular as frequências harmônicas de uma corda fixada nos dois extremos é:
fn = n cdot v2L
onde:
  • é a frequência do n-ésimo harmônico,
  • é um número inteiro positivo (1, 2, 3, …),
  • é a velocidade da onda na corda,
  • é o comprimento da corda.

Passo 4

Sabemos que a corda tem duas frequências ressonantes dadas: 420 Hz e 315 Hz. Vamos supor que essas s��o duas harmônicas consecutivas, ou seja, e .

Passo 5

Vamos chamar a frequência maior (420 Hz) de fn+1 = (n+1) cdot v2L e a menor (315 Hz) de fn = n cdot v2L . Então, temos:

Passo 6

Agora, vamos dividir a equação de fn+1fn = n+1n pela de 420315 = n+1n para eliminar e :
Substituindo os valores:

Passo 7

Simplificando a fração:
420315 = 43
Então:
43 = n+1n

Passo 8

Resolvendo para 4n = 3(n + 1) :
4n = 3n + 3
n = 3
Então, e .

Passo 9

Sabendo que f1 = fnn = 315, Hz3 = 105, Hz , podemos encontrar a frequência fundamental ( ). A frequência fundamental é:

Resposta

A frequência de ressonância mais baixa da corda é 105 Hz.

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