Em uma cidade, 10 % das pessoas possuem carro de marca A. Se 30 pessoas são selecionadas ao acaso, com reposição, qual a probabilidade de exatamente 5 pessoas possuírem carro de marca A?

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos diz que, numa cidade, 10% das pessoas têm carro da marca A. A gente vai selecionar 30 pessoas de forma aleatória, com reposição (ou seja, cada seleção é independente). Queremos saber qual a probabilidade de exatamente 5 dessas 30 pessoas possuírem um carro da marca A. Vamos usar Probabilidade Binomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a distribuição binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas (neste caso, 30 pessoas), cada tentativa tem dois resultados possíveis (tem ou não carro da marca A), as tentativas são independentes e a probabilidade de sucesso é constante (10% aqui).
A fórmula da probabilidade binomial é:
P(k) = binomnk p^k (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ n $ é o número de tentativas (30),
  • $ k $ é o número de sucessos desejados (5),
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (0,10),
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente binomial $ \binom{30}{5} $. Isso representa o número de maneiras de escolher 5 pessoas com carro A entre 30.
A fórmula do coeficiente binomial é:
binom305
Calculando:
binomnk = n!k! (n - k)!
Podemos simplificar isso sem calcular os fatoriais completos:
binom305 = 30!5! times 25!

Passo 4

Agora, vamos elevar a probabilidade de sucesso $ p = 0,10 $ ao número de sucessos desejados $ k = 5 $:
p = 0,10
E a probabilidade de fracasso $ (1 - p) = 0,90 $ ao número de fracassos $ n - k = 25 $:
k = 5

Passo 5

Finalmente, aplicamos todos esses valores na fórmula da probabilidade binomial:
P(5) = 142506 times 0,00001 times 0,077 approx 0,1097

Resposta

A probabilidade de exatamente 5 das 30 pessoas selecionadas possuírem um carro da marca A é de aproximadamente 10,97%.

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