A densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X é dada por:
f(t)=rr3 x^2, & se 0 <= x <= 1 & 0, cc
Calcule a variância e o desvio padrão.

Passo 1

Vamos lá! Temos uma variável aleatória contínua $ X $ com a densidade de probabilidade dada por $ f(x) = 3x^{2} $ para $ 0 \leq x \leq 1 $. Nosso objetivo é calcular a variância e o desvio padrão dessa variável. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a esperança (ou valor esperado) de $ X $ e de $ X^{2} $, já que a variância depende desses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a esperança $ E[X] $. A esperança de uma variável contínua é calculada usando a integral de $ x $ vezes a densidade $ f(x) $:
E[X]
Resolvendo a integral:
x
Então, $ E[X] = \frac{3}{4} $.

Passo 3

Agora, vamos calcular $ E[X^{2}] $, a esperança de $ X^{2} $:
E[X^2]
Resolvendo a integral:
X^2
Então, $ E[X^{2}] = \frac{3}{5} $.

Passo 4

Com $ E[X] = \frac{3}{4} $ e $ E[X^{2}] = \frac{3}{5} $, podemos calcular a variância $ Var(X) $ usando a fórmula:
E[X] = 34
Calculando:
E[X^2] = 35
Então, a variância $ Var(X) = \frac{3}{80} $.

Passo 5

Por último, o desvio padrão $ \sigma $ é a raiz quadrada da variância:
sigma

Resposta

A variância de $ X $ é $ \frac{3}{80} $ e o desvio padrão é aproximadamente $ 0{,}194 $.

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