A densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua
é dada por:
Calcule a variância e o desvio padrão.
Calcule a variância e o desvio padrão.
Passo 1
Vamos lá! Temos uma variável aleatória contínua $ X $ com a densidade de probabilidade dada por $ f(x) = 3x^{2} $ para $ 0 \leq x \leq 1 $. Nosso objetivo é calcular a variância e o desvio padrão dessa variável. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a esperança (ou valor esperado) de $ X $ e de $ X^{2} $, já que a variância depende desses valores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a esperança $ E[X] $. A esperança de uma variável contínua é calculada usando a integral de $ x $ vezes a densidade $ f(x) $:
Resolvendo a integral:
Então, $ E[X] = \frac{3}{4} $.
Passo 3
Agora, vamos calcular $ E[X^{2}] $, a esperança de $ X^{2} $:
Resolvendo a integral:
Então, $ E[X^{2}] = \frac{3}{5} $.
Passo 4
Com $ E[X] = \frac{3}{4} $ e $ E[X^{2}] = \frac{3}{5} $, podemos calcular a variância $ Var(X) $ usando a fórmula:
Calculando:
Então, a variância $ Var(X) = \frac{3}{80} $.
Passo 5
Por último, o desvio padrão $ \sigma $ é a raiz quadrada da variância:
Resposta
A variância de $ X $ é $ \frac{3}{80} $ e o desvio padrão é aproximadamente $ 0{,}194 $.