Uma urna tem 4 bolas vermelhas (V) e 6 brancas (B). Uma bola é extraída, observada sua cor e reposta na urna. O experimento é repetido 6 vezes. Qual a probabilidade de observarmos exatamente 4 vezes bola vermelha?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma urna com 4 bolas vermelhas (V) e 6 brancas (B), totalizando 10 bolas. A gente vai tirar uma bola, ver a cor dela, colocar de volta na urna e repetir esse processo 6 vezes. A pergunta é: qual a probabilidade de sair exatamente 4 bolas vermelhas nessas 6 tiradas? Para resolver isso, vamos usar o conceito de Probabilidade Binomial, que é perfeito quando temos experimentos com apenas dois resultados possíveis (neste caso, vermelha ou branca) e cada experimento é independente dos outros.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que vamos usar na fórmula da probabilidade binomial. A fórmula é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • n é o número total de experimentos (neste caso, 6 tiradas).
  • k é o número de sucessos que queremos (4 bolas vermelhas).
  • p é a probabilidade de sucesso em um único experimento (tirar uma bola vermelha).
  • binomnk é a combinação de n itens tomados k a k, que calcula de quantas maneiras podemos ter k sucessos em n experimentos.

Passo 3

Vamos calcular cada parte:
  1. Número de experimentos ( n): 6
  2. Número de sucessos desejados ( k): 4
  3. Probabilidade de sucesso ( p): Como temos 4 bolas vermelhas de um total de 10, p = 410 = 0.4.
  4. Probabilidade de fracasso ( 1 - p): 1 - 0.4 = 0.6.

Passo 4

Agora, vamos calcular a combinação binom64, que representa de quantas maneiras podemos escolher 4 sucessos em 6 tentativas:
binom64 = 6!4!(6-4)! = 6 times 52 times 1 = 15

Passo 5

Agora, vamos aplicar todos esses valores na fórmula da probabilidade binomial:
P(X = 4) = 15 times (0.4)^4 times (0.6)^6 - 4
Vamos calcular cada parte:
  1. (0.4)^4 = 0.0256
  2. (0.6)^2 = 0.36
  3. Multiplicando tudo: 15 times 0.0256 times 0.36 = 15 times 0.009216 = 0.13824

Resposta

A probabilidade de observar exatamente 4 bolas vermelhas em 6 tiradas é aproximadamente 0.13824, ou seja, 13,824%.

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